5.6 Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales segundas
Si \(f_x \) y \(f_y \) son a su vez derivables, sus derivadas parciales se llaman derivadas parciales segundas de \(f \)
Se denotan \(f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \), $$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} $$, $$f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $$ y \(f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \)
El subíndice indica el orden de derivación: \(f_{xy} \) significa derivar primero respecto de \(x \) y después respecto de \(y \)
Las derivadas \(f_{xy} \) y \(f_{yx} \) se llaman derivadas cruzadas.
Si \(f(x, y) = x^3 y^2 \), entonces \(f_x = 3x^2 y^2 \) y \(f_y = 2x^3 y \)
Derivando de nuevo, \(f_{xx} = 6xy^2 \), \(f_{xy} = 6x^2 y \), \(f_{yx} = 6x^2 y \) y \(f_{yy} = 2x^3 \)
Derivadas parciales de orden superior
Derivando sucesivamente se obtienen las derivadas parciales de tercer orden \(f_{xxx} \), \(f_{xxy} \), etcétera, y en general las de cualquier orden.
En tres variables aparecen derivadas como $$f_{xyz} = \frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial z} $$
El número de derivadas parciales de un orden dado crece rápidamente con el orden y con el número de variables, pero el teorema de Schwarz reduce el trabajo a la mitad.
Para \(f(x, y) = e^{xy} \), \(f_x = ye^{xy} \) y \(f_{xy} = e^{xy} + xye^{xy} = e^{xy}(1 + xy) \)
También \(f_y = xe^{xy} \) y \(f_{yx} = e^{xy}(1 + xy) \): las cruzadas coinciden.
Teorema de Schwarz
Si existen las derivadas cruzadas \(f_{xy} \) y \(f_{yx} \) y ambas son continuas en un entorno de \((a, b) \), entonces \(f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b) \)
Es decir: bajo hipótesis de continuidad, el orden de derivación no altera el resultado.
En la práctica, las funciones habituales (polinomios, exponenciales, trigonométricas y sus combinaciones) tienen derivadas parciales continuas de todos los órdenes, luego sus derivadas cruzadas coinciden siempre.
El teorema se extiende a cualquier par de variables y a órdenes superiores:
si las derivadas son continuas, el orden en que se deriva es irrelevante.
Para \(f(x, y) = x^2 \operatorname{sen}(xy) \) se comprueba derivando que \(f_{xy} = f_{yx} \), como garantiza el teorema.
La matriz hessiana es simétrica
Si \(f \) es una función de \(n \) variables con derivadas parciales segundas continuas (se dice que \(f \) es de clase \(C^2 \)), la matriz hessiana de \(f \) en \(\mathbf{a} \) es $$H_f(\mathbf{a}) = \begin{pmatrix} f_{x_1x_1} & \cdots & f_{x_1x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{x_nx_1} & \cdots & f_{x_nx_n} \end{pmatrix} $$
si \(f \) es de clase \(C^2 \), su matriz hessiana es simétrica en todo punto.
La hessiana recoge la información de curvatura de la función y es la herramienta para clasificar los puntos críticos (sección 5.7).
La hessiana de \(f(x, y) = x^2 + 3xy + 2y^2 \) es la matriz constante \(\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \), claramente simétrica.
Calcular todas las derivadas parciales segundas de \(f(x, y) = x^2 y^3 + e^{xy} \) y comprobar el teorema de Schwarz.
Explicación: se calculan primero \(f_x \) y \(f_y \) y después se deriva cada una respecto de \(x \ \text{e}\\y \)
\(f_x = 2xy^3 + ye^{xy} \) y \(f_y = 3x^2 y^2 + xe^{xy} \)
Derivando \(f_x \), \(f_{xx} = 2y^3 + y^2 e^{xy} \) y $$f_{xy} = 6xy^2 + e^{xy} + xye^{xy} = 6xy^2 + e^{xy}(1 + xy) $$
Derivando \(f_y \), $$f_{yx} = 6xy^2 + e^{xy} + xye^{xy} = 6xy^2 + e^{xy}(1 + xy) $$ y \(f_{yy} = 6x^2 y + x^2 e^{xy} \)
Se cumple \(f_{xy} = f_{yx} \), como exige el teorema de Schwarz al ser las derivadas continuas.
Conclusión: las cuatro derivadas segundas son \(f_{xx} = 2y^3 + y^2 e^{xy} \), \(f_{yy} = 6x^2 y + x^2 e^{xy} \) y \(f_{xy} = f_{yx} = 6xy^2 + e^{xy}(1 + xy) \)
Escribir la matriz hessiana de \(f(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - xy + yz \)
Explicación: se calculan las seis derivadas segundas distintas y se colocan en la matriz simétrica de \(3 \times 3 \)
Las derivadas primeras son \(f_x = 2x - y \), \(f_y = 4y - x + z \) y \(f_z = 6z + y \)
Las segundas puras son \(f_{xx} = 2 \), \(f_{yy} = 4 \) y \(f_{zz} = 6 \)
Las cruzadas son \(f_{xy} = f_{yx} = -1 \), \(f_{yz} = f_{zy} = 1 \) y \(f_{xz} = f_{zx} = 0 \)
Conclusión: $$H_f = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 6 \end{pmatrix} $$, que es simétrica.
Comprobar el teorema de Schwarz para \(f(x, y) = x\operatorname{sen}(xy) \)
Explicación: se calculan \(f_{xy} \) y \(f_{yx} \) por los dos órdenes y se comparan.
\(f_x = \operatorname{sen}(xy) + xy\cos(xy) \) y \(f_y = x^2\cos(xy) \)
Derivando \(f_x \) respecto de \(y \), $$f_{xy} = x\cos(xy) + x\cos(xy) - x^2y\operatorname{sen}(xy) = 2x\cos(xy) - x^2y\operatorname{sen}(xy) $$
Derivando \(f_y \) respecto de \(x \), $$f_{yx} = 2x\cos(xy) - x^2y\operatorname{sen}(xy) $$
Conclusión: \(f_{xy} = f_{yx} \), de acuerdo con el teorema de Schwarz.