6.1 Integrales dobles
Particiones, sumas de Riemann y definición de integral doble
Un rectángulo del plano es un conjunto de la forma \(R = [a, b] \times [c, d] \)
Una partición \(P \) de \(R \) se obtiene tomando una partición del intervalo \([a, b] \) y una partición del intervalo \([c, d] \)
El producto de ambas particiones divide a \(R \) en subrectángulos \(R_{ij} \)
La norma de la partición, denotada \(\|P\| \), es la mayor de las diagonales de los subrectángulos \(R_{ij} \)
Si \(\Delta x_i \) y \(\Delta y_j \) son las longitudes de los lados de \(R_{ij} \), su área es \(\Delta A_{ij} = \Delta x_i \, \Delta y_j \)
Sea \(f \) una función acotada definida en el rectángulo \(R \)
En cada subrectángulo \(R_{ij} \) se elige un punto \((\xi_{ij}, \eta_{ij}) \)
La suma de Riemann de \(f \) asociada a la partición \(P \) y a esa elección de puntos es $$S(f, P) = \sum_{i} \sum_{j} f(\xi_{ij}, \eta_{ij}) \, \Delta A_{ij} $$
La suma de Riemann aproxima el volumen que queda entre la gráfica de \(f \) y el rectángulo \(R \)
Se dice que \(f \) es integrable sobre \(R \) si existe el límite de \(S(f, P) \) cuando \(\|P\| \to 0 \) y dicho límite no depende de los puntos \((\xi_{ij}, \eta_{ij}) \) elegidos.
En tal caso, al valor del límite se le llama integral doble de \(f \) sobre \(R \) y se denota \(\iint_R f(x, y) \, dA \)
También se escribe \(\iint_R f(x, y) \, dx \, dy \)
Toda función continua en un rectángulo es integrable sobre dicho rectángulo.
La función constante \(f(x, y) = 1 \) es continua y por tanto integrable sobre cualquier rectángulo \(R = [a, b] \times [c, d] \)
Para cualquier partición \(P \) y cualquier elección de puntos, la suma de Riemann vale $$S(f, P) = \sum_i \sum_j 1 \cdot \Delta A_{ij} = A(R) $$
Tomando el límite cuando \(\|P\| \to 0 \) se obtiene \(\iint_R 1 \, dA = (b - a)(d - c) \)
La integral doble de la función constante \(1 \) es el área del rectángulo.
Propiedades de la integral doble
Sean \(f \) y \(g \) funciones integrables sobre el rectángulo \(R \), y sean \(\alpha \) y \(\beta \) números reales.
Linealidad: $$\iint_R (\alpha f + \beta g) \, dA = \alpha \iint_R f \, dA + \beta \iint_R g \, dA $$
Monotonía:
si \(f(x, y) \le g(x, y) \) en todo punto de \(R \), entonces \(\iint_R f \, dA \le \iint_R g \, dA \)
Aditividad respecto del dominio:
si \(R = R_1 \cup R_2 \) con \(R_1 \) y \(R_2 \) rectángulos de interiores disjuntos, entonces $$\iint_R f \, dA = \iint_{R_1} f \, dA + \iint_{R_2} f \, dA $$
Estimación:
si \(m \le f(x, y) \le M \) en \(R \), entonces $$m \cdot A(R) \le \iint_R f \, dA \le M \cdot A(R) $$, donde \(A(R) \) denota el área de \(R \)
Esta estimación se deduce de la monotonía aplicada a las funciones constantes \(m \) y \(M \)
Se quiere estimar \(I = \iint_R (x^2 + y^2) \, dA \) con \(R = [0, 1] \times [0, 2] \) sin calcularla.
En \(R \) se cumple \(0 \le x^2 + y^2 \le 5 \), porque el mínimo se alcanza en \((0, 0) \) y el máximo en \((1, 2) \)
El área de \(R \) es \(1 \cdot 2 = 2 \)
Por la propiedad de estimación, \(0 \le I \le 10 \)
Recintos de tipo I y de tipo II
Sea \(\Omega \) un conjunto acotado del plano y sea \(f \) una función acotada definida en \(\Omega \)
Se toma un rectángulo \(R \) que contenga a \(\Omega \) y se define la extensión \(\hat{f}(x, y) = f(x, y) \) si \((x, y) \in \Omega \) y \(\hat{f}(x, y) = 0 \) si \((x, y) \in R \setminus \Omega \)
Se dice que \(f \) es integrable sobre \(\Omega \) si \(\hat{f} \) es integrable sobre \(R \), y se define \(\iint_\Omega f \, dA = \iint_R \hat{f} \, dA \)
Un recinto de tipo I es un conjunto de la forma $$\Omega = \{(x, y) : a \le x \le b, \; g_1(x) \le y \le g_2(x)\} $$, donde \(g_1 \) y \(g_2 \) son funciones continuas con \(g_1(x) \le g_2(x) \)
Un recinto de tipo II es un conjunto de la forma $$\Omega = \{(x, y) : c \le y \le d, \; h_1(y) \le x \le h_2(y)\} $$, donde \(h_1 \) y \(h_2 \) son funciones continuas con \(h_1(y) \le h_2(y) \)
Un recinto puede ser de tipo I, de tipo II o de ambos tipos a la vez.
Toda función continua sobre un recinto de tipo I o de tipo II es integrable sobre dicho recinto.
El triángulo \(T \) de vértices \((0, 0) \), \((1, 0) \) y \((0, 1) \) admite las dos descripciones.
Como recinto de tipo I: $$T = \{(x, y) : 0 \le x \le 1, \; 0 \le y \le 1 - x\} $$
Como recinto de tipo II: $$T = \{(x, y) : 0 \le y \le 1, \; 0 \le x \le 1 - y\} $$
Integrales iteradas y teorema de Fubini
Sea \(\Omega \) un recinto de tipo I dado por \(a \le x \le b \) y \(g_1(x) \le y \le g_2(x) \)
Para cada \(x \) fijo, la integral \(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y) \, dy \) es una integral ordinaria en la variable \(y \)
Al integrar después respecto de \(x \) se obtiene la integral iterada $$\int_a^b \left( \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y) \, dy \right) dx $$
De forma análoga se define la integral iterada en el otro orden para un recinto de tipo II.
Si \(f \) es continua en el recinto \(\Omega \), entonces:
si \(\Omega \) es de tipo I, $$\iint_\Omega f(x, y) \, dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y) \, dy \, dx $$;
si \(\Omega \) es de tipo II, $$\iint_\Omega f(x, y) \, dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x, y) \, dx \, dy $$; y si \(\Omega \) es de los dos tipos, las dos integrales iteradas existen y coinciden.
Interpretación geométrica:
si \(f(x, y) \ge 0 \) en \(\Omega \), la integral doble es el volumen del sólido comprendido entre el recinto \(\Omega \) y la superficie \(z = f(x, y) \)
Se calcula \(I = \iint_R (x + 2y) \, dA \) con \(R = [0, 1] \times [0, 2] \)
El recinto es de tipo I con \(0 \le x \le 1 \) y \(0 \le y \le 2 \)
Por el teorema de Fubini, \(I = \int_0^1 \int_0^2 (x + 2y) \, dy \, dx \)
La integral interior vale $$\int_0^2 (x + 2y) \, dy = \big[xy + y^2\big]_0^2 = 2x + 4 $$
La integral exterior vale $$\int_0^1 (2x + 4) \, dx = \big[x^2 + 4x\big]_0^1 = 5 $$
Por tanto \(I = 5 \)
Calcular \(\iint_T (x^2 + y) \, dA \), donde \(T \) es el triángulo de vértices \((0, 0) \), \((2, 0) \) y \((0, 2) \)
se describe el triángulo como recinto de tipo I, se plantea la integral iterada correspondiente y se integra primero respecto de \(y \) y después respecto de \(x \)
La recta que une \((2, 0) \) con \((0, 2) \) es \(y = 2 - x \)
Luego $$T = \{(x, y) : 0 \le x \le 2, \; 0 \le y \le 2 - x\} $$
Por el teorema de Fubini, $$I = \int_0^2 \int_0^{2-x} (x^2 + y) \, dy \, dx $$
La integral respecto de \(y \) vale $$\int_0^{2-x} (x^2 + y) \, dy = \left[x^2y + \frac{y^2}{2}\right]_0^{2-x} = x^2(2 - x) + \frac{(2 - x)^2}{2} $$
Desarrollando, $$x^2(2 - x) + \frac{(2 - x)^2}{2} = -x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x + 2 $$
La integral respecto de \(x \) vale $$\int_0^2 \left(-x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x + 2\right) dx = \left[-\frac{x^4}{4} + \frac{5}{6}x^3 - x^2 + 2x\right]_0^2 = \frac{8}{3} $$
la integral doble sobre el triángulo vale \(\frac{8}{3} \)
Cambiar el orden de integración en $$I = \int_0^1 \int_x^1 \operatorname{sen}(y^2) \, dy \, dx $$ y calcular su valor.
la función \(\operatorname{sen}(y^2) \) no tiene primitiva elemental, por lo que la integral iterada no se puede calcular en ese orden.
Se describe el recinto de integración y se invierte el orden para obtener una integral calculable.
El recinto es $$\Omega = \{(x, y) : 0 \le x \le 1, \; x \le y \le 1\} $$, el triángulo de vértices \((0, 0) \), \((1, 1) \) y \((0, 1) \)
Como recinto de tipo II, $$\Omega = \{(x, y) : 0 \le y \le 1, \; 0 \le x \le y\} $$
Por el teorema de Fubini, $$I = \int_0^1 \int_0^y \operatorname{sen}(y^2) \, dx \, dy $$
La integral interior no depende de \(x \), luego $$\int_0^y \operatorname{sen}(y^2) \, dx = y \, \operatorname{sen}(y^2) $$
Así $$I = \int_0^1 y \, \operatorname{sen}(y^2) \, dy $$
Con el cambio \(u = y^2 \) se obtiene $$I = \left[-\frac{\cos(y^2)}{2}\right]_0^1 = \frac{1 - \cos 1}{2} $$
el valor de la integral es \(\frac{1 - \cos 1}{2} \)
Calcular el volumen del sólido comprendido entre el cuadrado \(Q = [0, 1] \times [0, 1] \) del plano \(z = 0 \) y la superficie \(z = x^2 + y^2 \)
como \(x^2 + y^2 \ge 0 \), el volumen pedido es la integral doble de la función sobre el cuadrado.
Se aplica el teorema de Fubini y se integra en los dos órdenes.
El volumen es \(V = \iint_Q (x^2 + y^2) \, dA \)
Por el teorema de Fubini, $$V = \int_0^1 \int_0^1 (x^2 + y^2) \, dy \, dx $$
La integral respecto de \(y \) vale $$\int_0^1 (x^2 + y^2) \, dy = \left[x^2y + \frac{y^3}{3}\right]_0^1 = x^2 + \frac{1}{3} $$
La integral respecto de \(x \) vale $$\int_0^1 \left(x^2 + \frac{1}{3}\right) dx = \left[\frac{x^3}{3} + \frac{x}{3}\right]_0^1 = \frac{2}{3} $$
el volumen del sólido es \(\frac{2}{3} \) unidades cúbicas.