1.1 1.1.2 Números enteros

1.1.2 Números enteros

Definición y conjunto de los números enteros

El conjunto de los números enteros surge de la necesidad matemática fundamental de extender el sistema de los números naturales para que la operación de resta o sustracción sea siempre posible y cerrada.

El conjunto de los enteros se define como la unión disjunta de los números naturales positivos, los enteros negativos y el elemento neutro cero:

$$Z = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\} = N^- \cup \{0\} \cup N $$

📝 Ejemplo conceptual:

Si un balance financiero registra ganancias como números positivos y deudas o pérdidas como números negativos, una deuda de quinientos euros se representa exactamente como $-500 \in Z $

Operaciones internas en el conjunto de los números enteros

En $Z $ están definidas de forma universal y cerrada tres operaciones fundamentales: la suma, el producto y la resta.

Clausura de la Suma:

Para todo $a, b \in Z $, su suma pertenece a $Z $:

$$a + b \in Z $$

📝 Ejemplo:

$$(-8) + 5 = -3 \in Z $$

Clausura de la Multiplicación:

Para todo $a, b \in Z $, su producto pertenece a $Z $:

$$a \cdot b \in Z $$

📝 Ejemplo:

$$(-4) \cdot (-7) = 28 \in Z $$

Existencia de Elemento Opuesto y Clausura de la Resta:

Para todo entero $a \in Z $, existe un único elemento $-a \in Z $, llamado su opuesto aditivo, tal que:

$$a + (-a) = 0 $$

Gracias a la existencia del opuesto, la resta se define como la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo:

$$a - b = a + (-b) \in Z $$

📝 Ejemplo:

Para $a = 3 $ y $b = 10 $, la resta es $3 - 10 = 3 + (-10) = -7 \in Z $

Estructura algebraica de anillo conmutativo y unitario

El conjunto $Z $ dotado de las operaciones de adición y multiplicación, $(Z, +, \cdot) $, posee las siguientes propiedades algebraicas:

Grupo Abeliano Aditivo $(Z, +) $:

Asociativa: $$(a + b) + c = a + (b + c) $$

Conmutativa: $$a + b = b + a $$

Elemento neutro aditivo: $$a + 0 = a $$

Elemento simétrico u opuesto: $$a + (-a) = 0 $$

⚙️ Propiedades: Multiplicativas

Asociativa: $$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $$

Conmutativa: $$a \cdot b = b \cdot a $$

Elemento neutro multiplicativo: $$a \cdot 1 = a $$

Distributiva: $$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c $$

Por satisfacer todas estas condiciones, $(Z, +, \cdot) $ tiene estructura de anillo conmutativo y unitario, y además es un dominio de integridad (no existen divisores de cero:

si $a \cdot b = 0 \implies a = 0 $ ó $b = 0 $).

📝 Ejemplo: de ausencia de divisores de cero:

Si $x \cdot (x - 4) = 0 $ en $Z $, necesariamente $x = 0 $ ó $x = 4 $

Limitación de los enteros: no clausura de la división

Aunque en $Z $ podemos sumar, restar y multiplicar indefinidamente, la división exacta no es una operación cerrada en los números enteros.

Dados dos enteros $a, b \in Z $ con $b \ne 0 $, el cociente $\frac{a}{b} $ no siempre es un número entero.

📝 Ejemplo:

Dividir $1 \div 2 = \frac{1}{2} = 0{,}5 \notin Z $

Por consiguiente, ecuaciones lineales tan directas como $3x = 7 $ no tienen solución en el conjunto de los números enteros, obligando al desarrollo del cuerpo de los números racionales.

📝 Ejemplo 1 Ecuación diofántica lineal fundamental en los números enteros

Resolución completa y parametrización de soluciones enteras mediante el algoritmo extendido de Euclides

Hallar todas las soluciones enteras $(x, y) \in Z \times Z $ de la ecuación diofántica $14x + 9y = 1 $

👉 PASO 1

Comprobación de existencia de soluciones mediante el máximo común divisor.

Calculamos el máximo común divisor entre 14 y 9 mediante el algoritmo de Euclides:

$$14 = 9 \cdot 1 + 5 $$

$$9 = 5 \cdot 1 + 4 $$

$$5 = 4 \cdot 1 + 1 $$

$$4 = 1 \cdot 4 + 0 $$

El último resto no nulo es 1, por lo que $\text{mcd}(14, 9) = 1 $

Como 1 divide al término independiente 1, la ecuación diofántica admite infinitas soluciones en los números enteros.

👉 PASO 2

Obtención de una solución particular por sustitución regresiva.

Despejamos los restos de abajo hacia arriba:

$$1 = 5 - 4 \cdot 1 $$

Sustituyendo $4 = 9 - 5 \cdot 1 $:

$$1 = 5 - (9 - 5 \cdot 1) = 5 \cdot 2 - 9 \cdot 1 $$

Sustituyendo $5 = 14 - 9 \cdot 1 $:

$$1 = (14 - 9 \cdot 1) \cdot 2 - 9 \cdot 1 = 14 \cdot 2 - 9 \cdot 3 = 14 \cdot 2 + 9 \cdot (-3) $$

Comparando con $14x + 9y = 1 $, obtenemos la solución particular $x_0 = 2 $ e $y_0 = -3 $

👉 PASO 3

Formulación de la solución general entera.

La solución general se obtiene sumando y restando el parámetro entero $k \in Z $:

$$x = x_0 + \frac{b}{\text{mcd}(a, b)} k = 2 + 9k $$

$$y = y_0 - \frac{a}{\text{mcd}(a, b)} k = -3 - 14k $$

con $k \in Z $

✅ Conclusión

Las soluciones enteras de la ecuación son los pares de la forma $x = 2 + 9k $ e $y = -3 - 14k $, con $k \in Z $

📝 Ejemplo 2 Aritmética modular y resolución de congruencias lineales en enteros

Resolución analítica paso a paso de una congruencia lineal mediante inverso modular

Resolver en el conjunto de los números enteros la congruencia lineal $7x \equiv 4 \pmod{11} $

👉 PASO 1

Verificación de coprimidad y cálculo del inverso modular.

Como $\text{mcd}(7, 11) = 1 $, existe un único inverso multiplicativo de 7 módulo

Buscamos un entero $u \in Z $ tal que $7u \equiv 1 \pmod{11} $

Probamos los múltiplos de 7 más cercanos a múltiplos de 11:

$$7 \cdot 1 = 7 \equiv 7 \pmod{11} $$

$$7 \cdot 2 = 14 \equiv 3 \pmod{11} $$

$$7 \cdot 8 = 56 = 55 + 1 = 5 \cdot 11 + 1 \implies 7 \cdot 8 \equiv 1 \pmod{11} $$

Por tanto, el inverso modular de 7 módulo 11 es $u = 8 $

👉 PASO 2

Multiplicación de la congruencia por el inverso modular.

Multiplicamos ambos miembros de la congruencia original por 8:

$$8 \cdot (7x) \equiv 8 \cdot 4 \pmod{11} $$

$$(8 \cdot 7)x \equiv 32 \pmod{11} $$

Como $56 \equiv 1 \pmod{11} $ y $32 = 2 \cdot 11 + 10 \equiv 10 \pmod{11} $:

$$x \equiv 10 \pmod{11} $$

👉 PASO 3

Expresión del conjunto general de soluciones enteras.

Escribimos la congruencia en términos de múltiplos enteros:

$$x = 10 + 11k, \quad k \in Z $$

✅ Conclusión

La solución entera de la congruencia es la clase de equivalencia $x \equiv 10 \pmod{11} $, o bien $x = 10 + 11k $ para todo $k \in Z $

📝 Ejemplo 3 Divisibilidad entera y paridad en polinomios de coeficientes enteros

Demostración de que una ecuación cuadrática carece de raíces enteras por argumento de paridad

Demostrar rigurosamente que la ecuación cuadrática $x^2 - 4x + 7 = 0 $ no admite ninguna solución en el conjunto de los números enteros $Z $

👉 PASO 1

Reescritura completando cuadrados en enteros.

Completamos el cuadrado de la expresión cuadrática:

$$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 $$

Sustituyendo en la ecuación original:

$$(x - 2)^2 - 4 + 7 = 0 \implies (x - 2)^2 + 3 = 0 \implies (x - 2)^2 = -3 $$

👉 PASO 2

Análisis axiomático de los cuadrados en los números enteros.

Para cualquier número entero $z \in Z $, la regla de los signos establece que:

Si $z > 0 \implies z^2 = z \cdot z > 0 $

Si $z = 0 \implies z^2 = 0 $

Si $z < 0 \implies z^2 = (-z) \cdot (-z) > 0 $

Por tanto, para todo entero se verifica invariablemente que $z^2 \ge 0 $

👉 PASO 3

Demostración de imposibilidad.

Si existiese $x \in Z $, entonces $z = x - 2 \in Z $, por lo que su cuadrado debería ser no negativo:

$$(x - 2)^2 \ge 0 $$

Sin embargo, la ecuación exige que $(x - 2)^2 = -3 < 0 $, lo cual es una contradicción aritmética absoluta.

✅ Conclusión

La ecuación cuadrática no tiene ninguna solución en el conjunto de los números enteros $Z $

📝 Ejemplo 4 Determinación de valores enteros que hacen entera una expresión fraccionaria

Descomposición algebraica para el cálculo de enteros generadores de cocientes exactos

Determinar todos los números enteros $n \in Z $ para los cuales la fracción $F(n) = \frac{3n + 8}{n - 1} $ es un número entero.

👉 PASO 1

División de polinomios para aislar la parte entera.

Efectuamos la división euclídea del numerador entre el denominador:

$$3n + 8 = 3(n - 1) + 11 $$

Dividiendo ambos miembros entre $n - 1 $ (con la restricción $n \ne 1 $):

$$F(n) = \frac{3(n - 1) + 11}{n - 1} = 3 + \frac{11}{n - 1} $$

👉 PASO 2

Condición necesaria y suficiente de divisibilidad.

Como 3 es un número entero, $F(n) \in Z $ si y sólo si la fracción $\frac{11}{n - 1} \in Z $

Esto equivale a exigir que el denominador $n - 1 $ sea un divisor entero exacto del número

El conjunto de divisores enteros de 11 (que es un número primo) está formado por:

$$\text{Div}(11) = \{-11, -1, 1, 11\} $$

👉 PASO 3

Resolución de cada caso elemental.

Igualamos $n - 1 $ a cada uno de los cuatro divisores:

- $n - 1 = -11 \implies n = -10 $

- $n - 1 = -1 \implies n = 0 $

- $n - 1 = 1 \implies n = 2 $

- $n - 1 = 11 \implies n = 12 $

✅ Conclusión

Los únicos números enteros que hacen que la fracción sea entera son $n \in \{-10, 0, 2, 12\} $

📝 Ejemplo 5 Factorización entera y ecuaciones cuadráticas en dos variables

Resolución de una ecuación diofántica no lineal mediante factorización en números enteros

Hallar todos los pares de enteros $(x, y) \in Z \times Z $ que satisfacen la ecuación cuadrática no lineal $xy - 2x - 3y = 5 $

👉 PASO 1

Transformación algebraica para factorizar la expresión.

Reagrupamos los términos con el objetivo de forzar un producto de binomios:

$$x(y - 2) - 3y = 5 $$

Para que el segundo término contenga el factor $(y - 2) $, sumamos $3 \cdot 2 = 6 $ a ambos miembros de la ecuación:

$$x(y - 2) - 3(y - 2) = 5 + 6 $$

$$(x - 3)(y - 2) = 11 $$

👉 PASO 2

Descomposición en factores enteros del número

Como 11 es un número primo, puede descomponerse en producto de dos números enteros únicamente de cuatro formas distintas:

$$11 = 1 \cdot 11 = 11 \cdot 1 = (-1) \cdot (-11) = (-11) \cdot (-1) $$

👉 PASO 3

Resolución de los cuatro sistemas lineales independientes.

Caso 1: $x - 3 = 1 \implies x = 4 $, e $y - 2 = 11 \implies y = 13 $. Obtenemos el par $(4, 13) $

Caso 2: $x - 3 = 11 \implies x = 14 $, e $y - 2 = 1 \implies y = 3 $. Obtenemos el par $(14, 3) $

Caso 3: $x - 3 = -1 \implies x = 2 $, e $y - 2 = -11 \implies y = -9 $. Obtenemos el par $(2, -9) $

Caso 4: $x - 3 = -11 \implies x = -8 $, e $y - 2 = -1 \implies y = 1 $. Obtenemos el par $(-8, 1) $

✅ Conclusión

Los únicos pares de números enteros que verifican la ecuación son $(4, 13) $, $(14, 3) $, $(2, -9) $ y $(-8, 1) $