2.1 2.1 Definición y primeros resultados

2.1 Definición y primeros resultados de sucesiones

Definición formal de sucesión y subsucesión

Una sucesión de números reales es una aplicación o función matemática cuyo dominio es el conjunto de los números naturales $N $ y cuyo codominio es el cuerpo de los números reales $R $:

$$a : N \longrightarrow R, \quad n \longmapsto a(n) = a_n $$

El valor $a_n $ se denomina término general o término n-ésimo de la sucesión.

La sucesión completa se denota por el conjunto ordenado:

$$\{a_n\}_{n=1}^\infty = \{a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots\} $$

Subsucesión (o sucesión parcial):

Dada una sucesión $\{a_n\} $, una subsucesión es una nueva sucesión construida extrayendo infinitos términos de la original respetando estrictamente su orden de aparición:

$$\{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty \quad \text{con} \quad n_1 < n_2 < n_3 < \dots < n_k < \dots, \quad n_k \in N $$

📝 Ejemplo conceptual:

Dada la sucesión alternada $a_n = (-1)^n $, la subsucesión de términos pares ($n_k = 2k $) es constantemente igual a 1: $a_{2k} = (-1)^{2k} = 1 $, mientras que la de impares es $-1 $

Definición épsilon-N de límite y convergencia

El concepto central del análisis infinitesimal sobre sucesiones es el límite de convergencia:

📖 Definición: Formal de Límite (Cauchy-Weierstrass)

Decimos que una sucesión de números reales $\{a_n\} $ converge a un número real $L \in R $, y escribimos:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = L \quad \text{ó} \quad a_n \longrightarrow L $$

si y sólo si para cualquier tolerancia positiva $\epsilon > 0 $, por pequeña que sea, existe un índice natural $N_0 \in N $ a partir del cual todos los términos de la sucesión distan de $L $ menos de $\epsilon $:

$$\forall \epsilon > 0, \; \exists N_0 \in N \quad \text{tal que} \quad \forall n \ge N_0 \implies |a_n - L| < \epsilon $$

Si una sucesión posee un límite finito $L \in R $, se dice que es convergente.

Si no posee límite finito o sus términos crecen indefinidamente hacia $\pm \infty $, se dice que es divergente.

📝 Ejemplo:

Para la sucesión $a_n = \frac{1}{n} $, su límite es $L = 0 $. Dado $\epsilon = 0{,}01 $, basta elegir $N_0 = 101 \in N $ para que para todo $$n \ge 101 \implies \left|\frac{1}{n} - 0\right| = \frac{1}{n} \le \frac{1}{101} < 0{,}01 $$

Teoremas fundamentales de las sucesiones convergentes

📐 Teorema: 1

Unicidad del Límite:

Si una sucesión real $\{a_n\} $ es convergente, su límite es único.

No puede converger a dos valores distintos.

Demostración abreviada:

Si $a_n \to L_1 $ y $a_n \to L_2 $ con $L_1 \ne L_2 $, tomando $\epsilon = \frac{|L_1 - L_2|}{2} > 0 $, por desigualdad triangular:

$$|L_1 - L_2| \le |L_1 - a_n| + |a_n - L_2| < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon = |L_1 - L_2| $$, lo cual es un absurdo.

📐 Teorema: 2

Acotación de Sucesiones Convergentes:

Toda sucesión convergente de números reales está acotada.

Es decir, existen cotas reales $m, M \in R $ tales que:

$$m \le a_n \le M, \quad \forall n \in N $$

¡Cuidado!: El recíproco es falso en general.

Una sucesión puede estar perfectamente acotada y no ser convergente (ejemplo: $a_n = (-1)^n $, acotada en $[-1, 1] $, pero oscilante sin límite).

📐 Teorema: 3

Conservación del Límite en Subsucesiones:

Si una sucesión converge a $L $, cualquier subsucesión suya converge también a $L $:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = L \implies \lim_{k \to \infty} a_{n_k} = L $$

Criterio de divergencia:

Si encontramos dos subsucesiones con límites distintos, la sucesión original es divergente.

📐 Teorema: 4

Teorema de la Convergencia Monótona:

1. Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente, y su límite es el supremo del conjunto de sus términos:

$$a_1 \le a_2 \le a_3 \le \dots \quad \text{y} \quad a_n \le M \implies \lim_{n \to \infty} a_n = \sup\{a_n : n \in N\} $$

Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente es convergente, y su límite es el ínfimo de sus términos

$$a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge \dots \quad \text{y} \quad a_n \ge m \implies \lim_{n \to \infty} a_n = \inf\{a_n : n \in N\} $$

📝 Ejemplo 1 Demostración formal del límite mediante la definición épsilon-N

Determinación analítica del índice de convergencia para una sucesión racional

Demostrar formalmente mediante la definición $\epsilon-N_0 $ que la sucesión $a_n = \frac{3n - 1}{2n + 5} $ converge a $L = \frac{3}{2} $

👉 PASO 1

Planteamiento de la condición de distancia.

Dado cualquier $\epsilon > 0 $, debemos encontrar un número natural $N_0 \in N $ tal que para todo $n \ge N_0 $ se verifique:

$$\left|a_n - \frac{3}{2}\right| < \epsilon $$

👉 PASO 2

Simplificación algebraica de la diferencia.

Desarrollamos la resta reduciendo a común denominador:

$$\left| \frac{3n - 1}{2n + 5} - \frac{3}{2} \right| = \left| \frac{2(3n - 1) - 3(2n + 5)}{2(2n + 5)} \right| = \left| \frac{6n - 2 - 6n - 15}{2(2n + 5)} \right| = \left| \frac{-17}{2(2n + 5)} \right| $$

Como para todo $n \in N $, el denominador $2(2n + 5) > 0 $, aplicamos el valor absoluto:

$$= \frac{17}{2(2n + 5)} $$

👉 PASO 3

Despeje y acotación del índice n.

Imponemos que la cantidad sea estrictamente menor que $\epsilon $:

$$\frac{17}{2(2n + 5)} < \epsilon \implies \frac{2(2n + 5)}{17} > \frac{1}{\epsilon} \implies 4n + 10 > \frac{17}{\epsilon} \implies 4n > \frac{17}{\epsilon} - 10 \implies n > \frac{17}{4\epsilon} - \frac{5}{2} $$

Por la Propiedad Arquimediana de los números reales, siempre existe un número natural que supera cualquier cota real.

Basta definir:

$$N_0 = \max\left\{1, \left\lfloor \frac{17}{4\epsilon} - \frac{5}{2} \right\rfloor + 1\right\} \in N $$

Para todo $n \ge N_0 $, se cumple con certeza que $|a_n - 3/2| < \epsilon $

✅ Conclusión

Queda rigurosamente demostrado por la definición épsilon que $$\lim_{n \to \infty} \frac{3n - 1}{2n + 5} = \frac{3}{2} $$

📝 Ejemplo 2 Convergencia monótona y límite del número e de Euler

Demostración de que la sucesión de base uno más uno entre n es monótona creciente y acotada

Demostrar que la sucesión fundamental $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $ es estrictamente creciente, acotada superiormente por 3, y por tanto convergente al número trascendente $e $

👉 PASO 1

Desarrollo del binomio de Newton para el término general.

Aplicamos el teorema del binomio de Newton:

$$a_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left(\frac{1}{n}\right)^k = 1 + \binom{n}{1}\frac{1}{n} + \binom{n}{2}\frac{1}{n^2} + \dots + \binom{n}{n}\frac{1}{n^n} $$

Analizamos el término de orden $k $:

$$\binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k! \cdot n^k} = \frac{1}{k!} \left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right)\cdots\left(1 - \frac{k-1}{n}\right) $$

Por tanto:

$$a_n = 1 + 1 + \frac{1}{2!}\left(1 - \frac{1}{n}\right) + \frac{1}{3!}\left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right) + \dots + \frac{1}{n!}\prod_{j=1}^{n-1}\left(1 - \frac{j}{n}\right) $$

👉 PASO 2

Demostración de la monotonía estrictamente creciente.

Al pasar de $n $ a $n + 1 $:

1. Cada factor de la forma $\left(1 - \frac{j}{n}\right) $ aumenta, pues $$\frac{j}{n+1} < \frac{j}{n} \implies 1 - \frac{j}{n+1} > 1 - \frac{j}{n} $$

2. Además, $a_{n+1} $ contiene un sumando positivo adicional (el término de orden $n + 1 $).

Por tanto, cada término individual es mayor y se añade un término positivo extra:

$$a_n < a_{n+1}, \quad \forall n \in N $$

La sucesión es monótona estrictamente creciente.

👉 PASO 3

Demostración de la acotación superior mediante serie geométrica.

En el desarrollo de $a_n $, cada paréntesis es menor que 1:

$$a_n < 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} $$

Como para todo $k \ge 2 $, $$k! \ge 2^{k-1} \implies \frac{1}{k!} \le \frac{1}{2^{k-1}} $$:

$$a_n < 1 + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}}\right) = 1 + \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} < 1 + 2 = 3 $$

La sucesión está acotada superiormente por

Por el Teorema de la Convergencia Monótona, toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente:

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2{,}7182818284\dots $$

✅ Conclusión

La sucesión converge monótonamente hacia el número de Euler $e \in (2, 3) $

📝 Ejemplo 3 Teorema del emparedado (o del sándwich) para límites oscilantes acotados

Cálculo del límite del producto de un infinitésimo por una sucesión oscilante acotada

Calcular el límite de la sucesión oscilante combinada:

$$a_n = \frac{\sin(n^2) + \cos(n!)}{n^2 + 3} $$

👉 PASO 1

Acotación de las funciones trigonométricas armónicas.

Para cualquier argumento real, las funciones seno y coseno están estrictamente acotadas entre -1 y 1:

$$-1 \le \sin(n^2) \le 1 \quad \text{y} \quad -1 \le \cos(n!) \le 1, \quad \forall n \in N $$

Sumando ambas desigualdades compatibles de orden:

$$-1 + (-1) \le \sin(n^2) + \cos(n!) \le 1 + 1 \implies -2 \le \sin(n^2) + \cos(n!) \le 2 $$

👉 PASO 2

División entre el denominador estrictamente positivo.

Para todo $n \in N $, el denominador $n^2 + 3 \ge 4 > 0 $

Dividimos toda la desigualdad entre $n^2 + 3 $:

$$\frac{-2}{n^2 + 3} \le \frac{\sin(n^2) + \cos(n!)}{n^2 + 3} \le \frac{2}{n^2 + 3} $$

Llamamos $b_n = -\frac{2}{n^2 + 3} $ a la cota inferior y $c_n = \frac{2}{n^2 + 3} $ a la cota superior.

👉 PASO 3

Cálculo de los límites de las cotas exteriores y conclusión.

Calculamos el límite de ambas cotas cuando $n \to \infty $:

$$\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-2}{n^2 + 3} = \frac{-2}{\infty} = 0 $$

$$\lim_{n \to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^2 + 3} = \frac{2}{\infty} = 0 $$

Como $b_n \le a_n \le c_n $ y $$\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} c_n = 0 $$, por el Teorema del Emparedado la sucesión central está atrapada y converge al mismo valor:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = 0 $$

✅ Conclusión

El límite de la sucesión oscilante es exactamente 0.

📝 Ejemplo 4 Divergencia y límites de subsucesiones en sucesiones trigonométricas

Demostración de no convergencia mediante extracción de subsucesiones con límites distintos

Demostrar rigurosamente que la sucesión trigonométrica $a_n = \cos\left(\frac{n\pi}{3}\right) $ es divergente (no tiene límite).

👉 PASO 1

Criterio de divergencia por subsucesiones.

Por el Teorema 3, si una sucesión $\{a_n\} $ fuese convergente a un valor $L $, toda subsucesión suya debería converger obligatoriamente hacia el mismo número $L $

Por tanto, si encontramos dos subsucesiones ${a_{n_k}} $ y ${a_{m_k}} $ con límites diferentes, habremos demostrado por contradicción que la sucesión no puede tener límite.

👉 PASO 2

Elección de la primera subsucesión (múltiplos de seis).

Elegimos los índices que son múltiplos de 6: $n_k = 6k $ con $k \in N $

Evaluamos el término general:

$$a_{n_k} = \cos\left(\frac{6k\pi}{3}\right) = \cos(2k\pi) = 1, \quad \forall k \in N $$

Esta subsucesión es idénticamente constante:

$$\lim_{k \to \infty} a_{6k} = \lim_{k \to \infty} 1 = 1 $$

👉 PASO 3

Elección de la segunda subsucesión y conclusión de divergencia.

Elegimos ahora los índices de la forma $m_k = 6k + 3 $ con $k \in N $

Evaluamos el término general:

$$a_{m_k} = \cos\left(\frac{(6k + 3)\pi}{3}\right) = \cos(2k\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1, \quad \forall k \in N $$

Esta segunda subsucesión es idénticamente constante e igual a -1:

$$\lim_{k \to \infty} a_{6k+3} = \lim_{k \to \infty} (-1) = -1 $$

Como hemos hallado dos subsucesiones cuyos límites son distintos ($1 \ne -1 $):

$$\lim_{k \to \infty} a_{6k} = 1 \ne -1 = \lim_{k \to \infty} a_{6k+3} $$

✅ Conclusión

La sucesión $a_n = \cos(n\pi/3) $ no converge a ningún valor; es divergente por oscilación.

📝 Ejemplo 5 Convergencia de sumas finitas escaladas mediante sumas de Riemann continuas

Cálculo del límite de una suma de n términos con denominador n al cuadrado

Calcular el límite cuando $n \to \infty $ de la suma discreta:

$$S_n = \frac{1}{n^2 + 1} + \frac{2}{n^2 + 2} + \frac{3}{n^2 + 3} + \dots + \frac{n}{n^2 + n} = \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + k} $$

👉 PASO 1

Acotación de los denominadores individuales de la suma.

Para cada término de la suma, el índice $k $ varía en el rango $1 \le k \le n $

Por tanto, los denominadores satisfacen la doble desigualdad de orden:

$$n^2 + 1 \le n^2 + k \le n^2 + n, \quad \forall k \in \{1, 2, \dots, n\} $$

Invirtiendo las cantidades positivas:

$$\frac{1}{n^2 + n} \le \frac{1}{n^2 + k} \le \frac{1}{n^2 + 1} $$

👉 PASO 2

Construcción de cotas globales multiplicando por k y sumando.

Como $k > 0 $, multiplicamos por $k $ en todos los miembros:

$$\frac{k}{n^2 + n} \le \frac{k}{n^2 + k} \le \frac{k}{n^2 + 1} $$

Sumamos desde $k = 1 $ hasta $n $ en toda la cadena de desigualdades:

$$\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + n} \le \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + k} \le \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + 1} $$

Extraemos los denominadores comunes fuera del sumatorio:

$$\frac{1}{n^2 + n} \sum_{k=1}^n k \le S_n \le \frac{1}{n^2 + 1} \sum_{k=1}^n k $$

Como $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n + 1)}{2} $:

$$\frac{n(n + 1)}{2(n^2 + n)} \le S_n \le \frac{n(n + 1)}{2(n^2 + 1)} \implies \frac{n(n + 1)}{2n(n + 1)} \le S_n \le \frac{n^2 + n}{2n^2 + 2} $$

$$\frac{1}{2} \le S_n \le \frac{n^2 + n}{2n^2 + 2} $$

👉 PASO 3

Paso al límite y aplicación del teorema del emparedado.

Calculamos el límite de la cota superior:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n}{2n^2 + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2(1 + 1/n)}{n^2(2 + 2/n^2)} = \frac{1}{2} $$

Como la cota inferior es constantemente $\frac{1}{2} $ y la cota superior tiende a $\frac{1}{2} $:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n}{2n^2 + 2} $$

Por el Teorema del Emparedado, el límite de la suma central es exactamente un medio.

✅ Conclusión

El límite de la suma cuando $n \to \infty $ es $\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2} $