ci-5-2-1 5.2.1 Derivadas de funciones elementales
La derivación de funciones elementales se fundamenta en las reglas operativas del álgebra lineal de operadores diferenciales.
Dadas dos funciones derivables \( u(x) \) y \( v(x) \) y una constante real \( c \in \mathbb{R} \):
📝 Ejemplo: de regla del producto y cociente:
Para derivar \( f(x) = \frac{x^2 \sin(x)}{e^x} \), derivamos primero el numerador por la regla del producto: \( (x^2 \sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x \). Aplicando la regla del cociente:
$$ f'(x) = \frac{(2x \sin x + x^2 \cos x)e^x - (x^2 \sin x)e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(2x \sin x + x^2 \cos x - x^2 \sin x)}{e^{2x}} = \frac{2x \sin x + x^2 \cos x - x^2 \sin x}{e^x} $$
Tabla de derivadas inmediatas y compuestas mediante la Regla de la Cadena \( [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \):
$$ (\sin u)' = \cos(u) u', \qquad (\cos u)' = -\sin(u) u' $$
$$ (\tan u)' = (1 + \tan^2 u) u' = \sec^2(u) u' = \frac{u'}{\cos^2 u} $$
$$ (\arcsin u)' = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}, \qquad (\arccos u)' = -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}} $$
$$ (\arctan u)' = \frac{u'}{1 + u^2} $$
$$ (\sinh u)' = \cosh(u) u', \qquad (\cosh u)' = \sinh(u) u', \qquad (\tanh u)' = \operatorname{sech}^2(u) u' = \frac{u'}{\cosh^2 u} $$
$$ (\operatorname{argsinh} u)' = \frac{u'}{\sqrt{u^2 + 1}}, \qquad (\operatorname{argcosh} u)' = \frac{u'}{\sqrt{u^2 - 1}}, \qquad (\operatorname{argtanh} u)' = \frac{u'}{1 - u^2} $$
📝 Ejemplo: de regla de la cadena:
Para calcular la derivada de \( y = \ln(\sin(3x^2 + 1)) \), identificamos las capas de composición:
$$ y' = \frac{1}{\sin(3x^2 + 1)} \cdot \cos(3x^2 + 1) \cdot (6x) = 6x \cot(3x^2 + 1) $$
A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso:
📝 Ejemplo 1 Calcular y simplificar al máximo la derivada de la función con arcotangente y fracciones algebraicas:
$$ f(x) = \arctan\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right) \quad \text{para } |x| \ne 1 $$
👉 PASO 1
Identificamos la función como una composición de la forma \( f(x) = \arctan(u(x)) \) con el argumento:
$$ u(x) = \frac{2x}{1 - x^2} $$
👉 PASO 2
Por la regla de la cadena, la derivada del arcotangente es:
$$ f'(x) = \frac{u'(x)}{1 + [u(x)]^2} $$
👉 PASO 3
Calculamos la derivada del argumento \( u'(x) \) mediante la regla del cociente:
$$ u'(x) = \frac{2(1 - x^2) - 2x(-2x)}{(1 - x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2 + 4x^2}{(1 - x^2)^2} = \frac{2 + 2x^2}{(1 - x^2)^2} = \frac{2(1 + x^2)}{(1 - x^2)^2} $$
👉 PASO 4
Desarrollamos el denominador \( 1 + [u(x)]^2 \) sumando las fracciones con común denominador:
$$ 1 + \left(\frac{2x}{1 - x^2}\right)^2 = 1 + \frac{4x^2}{(1 - x^2)^2} = \frac{(1 - x^2)^2 + 4x^2}{(1 - x^2)^2} $$
Desarrollamos el numerador aplicando el binomio:
$$ (1 - 2x^2 + x^4) + 4x^2 = 1 + 2x^2 + x^4 = (1 + x^2)^2 $$
Por tanto:
$$ 1 + [u(x)]^2 = \frac{(1 + x^2)^2}{(1 - x^2)^2} $$
👉 PASO 5
Sustituimos ambas expresiones en la fórmula de la derivada:
$$ f'(x) = \frac{\frac{2(1 + x^2)}{(1 - x^2)^2}}{\frac{(1 + x^2)^2}{(1 - x^2)^2}} = \frac{2(1 + x^2)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2}{1 + x^2} $$
✅ Conclusión
La derivada simplificada es \( f'(x) = \frac{2}{1 + x^2} \) (resultado coherente con la identidad trigonométrica $$ \arctan\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right) = 2\arctan(x) $$).
📝 Ejemplo 2 Calcular la derivada de la función que combina logaritmos y raíces cuadradas anidadas:
$$ f(x) = \ln\left( x + \sqrt{x^2 - a^2} \right) \quad \text{con } x > a > 0 $$
👉 PASO 1
Aplicamos la regla de la derivada del logaritmo neperiano \( (\ln u)' = \frac{u'}{u} \) donde el argumento es:
$$ u(x) = x + \sqrt{x^2 - a^2} $$
👉 PASO 2
Calculamos la derivada del argumento \( u'(x) \) derivando cada término:
- La derivada de \( x \) es 1.
- Para el radical \( \sqrt{x^2 - a^2} = (x^2 - a^2)^{1/2} \):
$$ \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 - a^2}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - a^2}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}} $$
Por tanto:
$$ u'(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - a^2} + x}{\sqrt{x^2 - a^2}} $$
👉 PASO 3
Sustituimos \( u'(x) \) y \( u(x) \) en el cociente:
$$ f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{\frac{x + \sqrt{x^2 - a^2}}{\sqrt{x^2 - a^2}}}{x + \sqrt{x^2 - a^2}} $$
👉 PASO 4
Cancelamos el factor común no nulo \( (x + \sqrt{x^2 - a^2}) \) en numerador y denominador:
$$ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} $$
✅ Conclusión
La derivada es exactamente \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \)
📝 Ejemplo 3 Calcular la derivada de la función trigonométrica fraccionaria con exponente cúbico:
$$ f(x) = \frac{\sin^3(2x)}{\cos(4x)} $$
👉 PASO 1
Aplicamos la regla del cociente:
$$ f'(x) = \frac{[\sin^3(2x)]' \cos(4x) - \sin^3(2x) [\cos(4x)]'}{\cos^2(4x)} $$
👉 PASO 2
Calculamos la derivada del numerador mediante la regla de la cadena para la potencia:
$$ [\sin^3(2x)]' = 3\sin^2(2x) \cdot [\sin(2x)]' = 3\sin^2(2x) \cdot [\cos(2x) \cdot 2] = 6\sin^2(2x)\cos(2x) $$
👉 PASO 3
Calculamos la derivada del denominador:
$$ [\cos(4x)]' = -\sin(4x) \cdot 4 = -4\sin(4x) $$
👉 PASO 4
Sustituimos ambas derivadas en la fórmula:
$$ f'(x) = \frac{[6\sin^2(2x)\cos(2x)] \cos(4x) - \sin^3(2x)[-4\sin(4x)]}{\cos^2(4x)} $$
$$ f'(x) = \frac{6\sin^2(2x)\cos(2x)\cos(4x) + 4\sin^3(2x)\sin(4x)}{\cos^2(4x)} $$
👉 PASO 5
Factorizamos el término común \( 2\sin^2(2x) \) en el numerador:
$$ f'(x) = \frac{2\sin^2(2x) [3\cos(2x)\cos(4x) + 2\sin(2x)\sin(4x)]}{\cos^2(4x)} $$
✅ Conclusión
La derivada es $$ f'(x) = \frac{2\sin^2(2x)[3\cos(2x)\cos(4x) + 2\sin(2x)\sin(4x)]}{\cos^2(4x)} $$
📝 Ejemplo 4 Calcular y simplificar la derivada de la función hiperbólica:
$$ f(x) = \tanh\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{3}\tanh^3\left(\frac{x}{2}\right) $$
👉 PASO 1
Derivamos término a término utilizando la regla de la cadena.
Sea \( u = \frac{x}{2} \implies u' = \frac{1}{2} \)
👉 PASO 2
Para el primer término:
$$ \left[\tanh\left(\frac{x}{2}\right)\right]' = \operatorname{sech}^2\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\operatorname{sech}^2\left(\frac{x}{2}\right) $$
👉 PASO 3
Para el segundo término, aplicamos la regla de la potencia compuesta:
$$ \left[\frac{1}{3}\tanh^3\left(\frac{x}{2}\right)\right]' = \frac{1}{3} \cdot 3\tanh^2\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \left[\tanh\left(\frac{x}{2}\right)\right]' = \tanh^2\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \left[ \frac{1}{2}\operatorname{sech}^2\left(\frac{x}{2}\right) \right] $$
$$ = \frac{1}{2}\tanh^2\left(\frac{x}{2}\right)\operatorname{sech}^2\left(\frac{x}{2}\right) $$
👉 PASO 4
Sumamos ambos términos y extraemos factor común \( \frac{1}{2}\operatorname{sech}^2(x/2) \):
$$ f'(x) = \frac{1}{2}\operatorname{sech}^2\left(\frac{x}{2}\right) \left[ 1 + \tanh^2\left(\frac{x}{2}\right) \right] $$
👉 PASO 5
Alternativamente, expresando en términos exponenciales o del coseno hiperbólico:
$$ f'(x) = \frac{1}{2\cosh^2(x/2)} \left[ \frac{\cosh^2(x/2) + \sinh^2(x/2)}{\cosh^2(x/2)} \right] = \frac{\cosh(x)}{2\cosh^4(x/2)} $$
✅ Conclusión
La derivada es $$ f'(x) = \frac{1}{2}\operatorname{sech}^2(x/2)[1 + \tanh^2(x/2)] $$
📝 Ejemplo 5 Dada la función $$ f(x) = \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right) $$, hallar su derivada, simplificarla al máximo y deducir la expresión explícita de \( f(x) \)
👉 PASO 1
Sea el argumento \( u(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \)
La derivada del arcoseno compuesto es:
$$ f'(x) = \frac{u'(x)}{\sqrt{1 - [u(x)]^2}} $$
👉 PASO 2
Calculamos el denominador \( \sqrt{1 - u^2} \):
$$ 1 - [u(x)]^2 = 1 - \frac{x^2}{1 + x^2} = \frac{(1 + x^2) - x^2}{1 + x^2} = \frac{1}{1 + x^2} $$
Tomando la raíz cuadrada:
$$ \sqrt{1 - [u(x)]^2} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$
👉 PASO 3
Calculamos la derivada del cociente \( u'(x) \):
$$ u'(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{1 + x^2} - x \cdot \left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right)}{(\sqrt{1 + x^2})^2} = \frac{\frac{(1 + x^2) - x^2}{\sqrt{1 + x^2}}}{1 + x^2} = \frac{1}{(1 + x^2)^{3/2}} $$
👉 PASO 4
Sustituimos ambas expresiones en la derivada de \( f(x) \):
$$ f'(x) = \frac{\frac{1}{(1 + x^2)^{3/2}}}{\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}} = \frac{\sqrt{1 + x^2}}{(1 + x^2)\sqrt{1 + x^2}} = \frac{1}{1 + x^2} $$
👉 PASO 5
Observamos que la derivada obtenida \( f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} \) es idéntica a la derivada de la función arcotangente \( (\arctan x)' \)
Como \( f(0) = \arcsin(0) = 0 \) y \( \arctan(0) = 0 \), se concluye que:
$$ f(x) = \arctan(x) \quad \forall x \in \mathbb{R} $$
✅ Conclusión
La derivada es \( f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} \), lo que demuestra la identidad trascendente $$ \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right) = \arctan(x) $$