6.2.2 Desarrollos en series de potencias

Question

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Enunciado del ejercicio

ci-6-2-2 6.2.2 Desarrollos en series de potencias Una serie de potencias centrada en el punto $x_0 \in \mathbb{R}$ es una serie infinita de funciones de la forma: $\sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0)^2 + \dots + a_n (x - x_0)^n + \dots$ donde los coeficientes $a_n \in \mathbb{R}$ son números reales dados. El Teorema Fundamental de Abel establece que para toda serie de potencias existe un único número real extendido $R \in [0, +\infty]$, denominado Radio de Convergencia, tal que: 1. Si $|x - x_0| < R$, la serie converge absolutamente. 2. Si $|x - x_0| > R$, la serie diverge. 3. Si $|x - x_0| = R$ (los extremos $x = x_0 - R$ y $x = x_0 + R$), el criterio no decide y debe estudiarse la convergencia individualmente en cada extremo. Fórmulas para el cálculo del Radio de Convergencia: 1. Criterio del Cociente de D'Alembert: $R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \quad (\text{si dicho límite existe})$ 2. Teorema de Cauchy-Hadamard (Criterio de la Raíz): $\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ Ejemplo de cálculo de radio e intervalo: Determinar el radio e intervalo de convergencia de la serie geométrica $\sum_{n=0}^\infty x^n$ Los coeficientes son $a_n = 1$. Por D'Alembert: $R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{1}{1}\right| = 1$ La serie converge para $|x| < 1$. En los extremos $x = 1$ y $x = -1$, el término general no tiende a cero, por lo que diverge. El intervalo de convergencia es exactamente el intervalo abierto $(-1, 1)$ A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso: $\text{Ejemplo 1}$ Hallar el radio de convergencia y el intervalo exacto de convergencia de la serie de potencias: $\sum_{n=1}^\infty \frac{(x - 2)^n}{n \cdot 3^n}$

PASO 1

Identificamos el centro de la serie $x_0 = 2$ y el coeficiente general:

$$a_n = \frac{1}{n \cdot 3^n}$$

PASO 2

Calculamos el radio de convergencia aplicando el criterio del cociente de D'Alembert:

$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n \cdot 3^n}}{\frac{1}{(n+1) \cdot 3^{n+1}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) \cdot 3^{n+1}}{n \cdot 3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$$

Por tanto, el radio de convergencia es $R = 3$

PASO 3

Determinamos el intervalo interior de convergencia absoluta:

$$|x - 2| < 3 \implies -3 < x - 2 < 3 \implies -1 < x < 5$$

La serie converge absolutamente para todo $x \in (-1, 5)$

PASO 4

Analizamos el extremo derecho $x = 5$ ($x - 2 = 3$):

Sustituyendo en la serie:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n \cdot 3^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

Esta es la serie armónica simple ($p = 1$), que es divergente. Por tanto, el extremo derecho $x = 5$ queda excluido.

PASO 5

Analizamos el extremo izquierdo $x = -1$ ($x - 2 = -3$):

Sustituyendo en la serie:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-3)^n}{n \cdot 3^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n 3^n}{n \cdot 3^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$$

Esta es la serie armónica alternada. Por el Criterio de Leibniz, como $b_n = \frac{1}{n}$ decrece monótonamente a cero, la serie es convergente (condicionalmente). Por tanto, el extremo izquierdo $x = -1$ queda incluido.

Conclusión

El radio de convergencia es $R = 3$ y el intervalo de convergencia es el intervalo semiabierto $[-1, 5)$

Ejemplo 2 Determinar el radio y el intervalo de convergencia de la serie con factoriales:

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$

PASO 1

El centro es $x_0 = 0$ y el coeficiente es $a_n = \frac{1}{n!}$

PASO 2

Calculamos el radio de convergencia mediante el criterio de D'Alembert:

$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{(n+1)!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{n!} = \lim_{n \to \infty} (n + 1) = +\infty$$

PASO 3

Interpretación del radio infinito $R = +\infty$:

La serie converge absolutamente para todo número real $x \in \mathbb{R}$

Conclusión

El radio de convergencia es $R = +\infty$ y el intervalo de convergencia es toda la recta real $(-\infty, +\infty)$ (corresponde al desarrollo de la función exponencial $e^x$).

Ejemplo 3 Determinar el radio y el intervalo de convergencia de la serie de potencias:

$$\sum_{n=0}^\infty n! x^n$$

PASO 1

Los coeficientes son $a_n = n!$

PASO 2

Calculamos el radio de convergencia:

$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} = 0$$

PASO 3

Interpretación del radio nulo $R = 0$:

La serie converge únicamente en el centro trivial $x = 0$, y diverge para cualquier otro número real $x \ne 0$

Conclusión

El radio de convergencia es $R = 0$ y el conjunto de convergencia se reduce al punto aislado $\{0\}$

Ejemplo 4 Hallar el radio e intervalo de convergencia de la serie cuadrática:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(x + 1)^{2n}}{n^2 \cdot 4^n}$$

PASO 1

Hacemos el cambio de variable unificador $u = (x + 1)^2 \ge 0$, convirtiendo la expresión en una serie de potencias estándar en $u$:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{u^n}{n^2 \cdot 4^n}$$

donde los coeficientes son $b_n = \frac{1}{n^2 \cdot 4^n}$

PASO 2

Calculamos el radio de convergencia $R_u$ respecto a la variable $u$:

$$R_u = \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{b_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2 \cdot 4^n}}{\frac{1}{(n+1)^2 \cdot 4^{n+1}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 \cdot 4^{n+1}}{n^2 \cdot 4^n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 \cdot 4 = 1 \cdot 4 = 4$$

PASO 3

La serie converge absolutamente para $|u| < 4 \implies (x + 1)^2 < 4$:

$$|x + 1| < 2 \implies -2 < x + 1 < 2 \implies -3 < x < 1$$

Por tanto, el radio de convergencia en la variable original $x$ es $R = 2$

PASO 4

Analizamos los dos extremos $x = 1$ y $x = -3$, donde $(x + 1)^2 = (\pm 2)^2 = 4$:

Sustituimos $(x + 1)^2 = 4$ en la serie original:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n^2 \cdot 4^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$

Esta es una serie p-armónica con $p = 2 > 1$, que es absolutamente convergente (su suma es $\frac{\pi^2}{6}$). Por tanto, la serie converge en ambos extremos.

Conclusión

El radio de convergencia es $R = 2$ y el intervalo de convergencia es el intervalo cerrado $[-3, 1]$

Ejemplo 5 Determinar el radio de convergencia utilizando la fórmula de Cauchy-Hadamard para la serie:

$$\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{n}{2n + 1} \right)^n x^n$$

PASO 1

Los coeficientes de la serie centrada en el origen son:

$$a_n = \left( \frac{n}{2n + 1} \right)^n$$

PASO 2

Aplicamos el Teorema de Cauchy-Hadamard mediante la raíz n-ésima:

$$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n}{2n + 1} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n + 1}$$

Dividiendo numerador y denominador entre $n$:

$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{2 + 0} = \frac{1}{2}$$

PASO 3

Por la fórmula de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia es el recíproco de $L$:

$$R = \frac{1}{L} = \frac{1}{1/2} = 2$$

PASO 4

Analizamos los extremos $x = \pm 2$:

El término general en $|x| = 2$ es:

$$|a_n x^n| = \left( \frac{n}{2n + 1} \right)^n 2^n = \left( \frac{2n}{2n + 1} \right)^n = \left( \frac{2n + 1 - 1}{2n + 1} \right)^n = \left( 1 - \frac{1}{2n + 1} \right)^n$$

Tomamos el límite cuando $n \to \infty$:

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{2n + 1} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1/2}{n} \right)^n = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} \ne 0$$

Como el término general no tiende a cero, la serie diverge en ambos extremos.

Conclusión

El radio de convergencia es $R = 2$ y el intervalo de convergencia es el intervalo abierto $(-2, 2)$

6.2.2 Desarrollos en series de potencias

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