ci-8-4-3 8.4.3 Longitud de un arco de curva
El proceso de determinar la longitud de un segmento curvo regular continuo se denomina clásicamente "rectificación" de la curva.
Consideremos una curva suave definida en el plano cartesiano.
Al tomar dos puntos infinitamente próximos \( (x, y) \) y \( (x + dx, y + dy) \), la hipotenusa del triángulo rectángulo infinitesimal formado por los incrementos rectangulares \( dx \) y \( dy \) proporciona la longitud del arco diferencial \( ds \):
$$ ds^2 = dx^2 + dy^2 \implies ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} $$
Si la curva viene dada por la ecuación explícita \( y = f(x) \) en el intervalo cerrado \( [a, b] \), donde \( f'(x) \) es continua, factorizamos \( dx \) fuera de la raíz:
$$ ds = \sqrt{dx^2 + \left( \frac{dy}{dx} dx \right)^2} = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx $$
Integrando a lo largo del intervalo obtenemos la longitud total de arco:
$$ L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx $$
De forma idéntica, si la curva viene dada por \( x = g(y) \) en \( [c, d] \):
$$ L = \int_c^d \sqrt{1 + [g'(y)]^2} \, dy $$
📝 Ejemplo: elemental de rectificación: Longitud del segmento rectilíneo \( y = 2x \) en \( [0, 3] \)
Como $$ f'(x) = 2 \implies 1 + [f'(x)]^2 = 1 + 2^2 = 5 $$:
$$ L = \int_0^3 \sqrt{5} \, dx = [\sqrt{5}x]_0^3 = 3\sqrt{5} $$
lo cual coincide exactamente con la hipotenusa de catetos 3 y 6 ($$ \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} $$).
Si la trayectoria suave viene descrita por las funciones paramétricas continuas \( x = x(t) \), \( y = y(t) \) para el parámetro \( t \in [t_1, t_2] \):
$$ ds = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \, dt \implies L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \, dt $$
📝 Ejemplo: en paramétricas: Circunferencia de radio \( R \): \( x = R\cos t, y = R\sin t \) para \( t \in [0, 2\pi] \)
$$ x'(t) = -R\sin t, \quad y'(t) = R\cos t \implies \sqrt{(-R\sin t)^2 + (R\cos t)^2} = \sqrt{R^2(\sin^2 t + \cos^2 t)} = R $$
$$ L = \int_0^{2\pi} R \, dt = [Rt]_0^{2\pi} = 2\pi R $$
Si la curva se define mediante la ecuación polar \( r = r(\theta) \) para el ángulo polar \( \theta \in [\alpha, \beta] \):
$$ L = \int_\alpha^\beta \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2} \, d\theta $$
A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso:
📝 Ejemplo 1 Calcular la longitud del arco de la catenaria (curva de suspensión de cables) descrita por:
$$ y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) \quad (a > 0) \quad \text{en el intervalo } [-a, a] $$
👉 PASO 1
Calculamos la primera derivada ordinaria de la función respecto a \( x \):
$$ y' = \frac{d}{dx}\left[ a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) \right] = a \left( \frac{1}{a}\sinh\left(\frac{x}{a}\right) \right) = \sinh\left(\frac{x}{a}\right) $$
👉 PASO 2
Construimos el radicando de la fórmula de longitud de arco:
$$ 1 + (y')^2 = 1 + \sinh^2\left(\frac{x}{a}\right) $$
Utilizamos la identidad hiperbólica fundamental $$ \cosh^2 u - \sinh^2 u = 1 \implies 1 + \sinh^2 u = \cosh^2 u $$:
$$ 1 + (y')^2 = \cosh^2\left(\frac{x}{a}\right) $$
👉 PASO 3
Tomamos la raíz cuadrada (recordando que el coseno hiperbólico es estrictamente positivo en todo \( \mathbb{R} \)):
$$ ds = \sqrt{1 + (y')^2} \, dx = \sqrt{\cosh^2\left(\frac{x}{a}\right)} \, dx = \cosh\left(\frac{x}{a}\right) \, dx $$
👉 PASO 4
Planteamos la integral definida y aprovechamos la paridad de la función:
$$ L = \int_{-a}^a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) \, dx = 2 \int_0^a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) \, dx $$
👉 PASO 5
Integramos y evaluamos mediante la Regla de Barrow:
$$ L = 2 \left[ a \sinh\left(\frac{x}{a}\right) \right]_0^a = 2a \left( \sinh\left(\frac{a}{a}\right) - \sinh(0) \right) = 2a (\sinh(1) - 0) = 2a \sinh(1) $$
Expresando el seno hiperbólico en exponenciales (\( \sinh(1) = \frac{e - e^{-1}}{2} \)):
$$ L = 2a \left( \frac{e - e^{-1}}{2} \right) = a \left( e - \frac{1}{e} \right) = a \frac{e^2 - 1}{e} $$
✅ Conclusión
La longitud exacta de la catenaria es \( 2a\sinh(1) = a\left(e - \frac{1}{e}\right) \)
📝 Ejemplo 2 Calcular el perímetro total de la astroide (hipocicloide de cuatro cúspides) parametrizada por:
$$ x(t) = a \cos^3 t, \quad y(t) = a \sin^3 t \quad (a > 0, t \in [0, 2\pi]) $$
👉 PASO 1
Por la cuádruple simetría respecto a los ejes de coordenadas, el perímetro total \( L \) es 4 veces la longitud del arco del primer cuadrante (\( t \in [0, \pi/2] \)):
$$ L = 4 \int_0^{\pi/2} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \, dt $$
👉 PASO 2
Calculamos las derivadas de las ecuaciones paramétricas:
- $$ x'(t) = 3a \cos^2 t (-\sin t) = -3a \cos^2 t \sin t $$
- $$ y'(t) = 3a \sin^2 t (\cos t) = 3a \sin^2 t \cos t $$
👉 PASO 3
Elevamos al cuadrado y sumamos ambos términos:
$$ [x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 = 9a^2 \cos^4 t \sin^2 t + 9a^2 \sin^4 t \cos^2 t $$
Extraemos factor común \( 9a^2 \sin^2 t \cos^2 t \):
$$ = 9a^2 \sin^2 t \cos^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t) = 9a^2 \sin^2 t \cos^2 t (1) = 9a^2 \sin^2 t \cos^2 t $$
👉 PASO 4
Extraemos la raíz cuadrada para \( t \in [0, \pi/2] \) donde seno y coseno son positivos:
$$ \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} = 3a \sin t \cos t $$
👉 PASO 5
Integramos en el cuadrante y multiplicamos por 4:
$$ L = 4 \int_0^{\pi/2} 3a \sin t \cos t \, dt = 12a \int_0^{\pi/2} \sin t \cos t \, dt $$
Como $$ \int \sin t \cos t \, dt = \left[ \frac{\sin^2 t}{2} \right]_0^{\pi/2} = \frac{1^2}{2} - 0 = \frac{1}{2} $$:
$$ L = 12a \left( \frac{1}{2} \right) = 6a $$
✅ Conclusión
El perímetro completo de la astroide es exactamente \( 6a \)
📝 Ejemplo 3 Calcular la longitud de arco de la curva logarítmica-trigonométrica:
$$ y = \ln(\sec x) \quad \text{en el intervalo } \left[ 0, \frac{\pi}{3} \right] $$
👉 PASO 1
Derivamos la función \( y = f(x) \):
$$ y' = \frac{1}{\sec x} \cdot \frac{d}{dx}[\sec x] = \frac{1}{\sec x} (\sec x \tan x) = \tan x $$
👉 PASO 2
Construimos el elemento bajo el signo radical:
$$ 1 + (y')^2 = 1 + \tan^2 x = \sec^2 x $$
👉 PASO 3
Tomamos la raíz cuadrada en el intervalo \( [0, \pi/3] \) donde el coseno y la secante son estrictamente positivos:
$$ ds = \sqrt{\sec^2 x} \, dx = \sec x \, dx $$
👉 PASO 4
Integramos la función secante mediante su primitiva estándar:
$$ L = \int_0^{\pi/3} \sec x \, dx = \left[ \ln|\sec x + \tan x| \right]_0^{\pi/3} $$
👉 PASO 5
Evaluamos mediante Barrow en \( \frac{\pi}{3} \) y en 0:
- En \( x = \frac{\pi}{3} \):
$$ \sec\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\cos(\pi/3)} = \frac{1}{1/2} = 2, \qquad \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} $$
$$ \ln|2 + \sqrt{3}| $$
- En \( x = 0 \):
$$ \sec(0) = 1, \qquad \tan(0) = 0 \implies \ln|1 + 0| = \ln 1 = 0 $$
Restamos:
$$ L = \ln(2 + \sqrt{3}) - 0 = \ln(2 + \sqrt{3}) \approx 1.3170 $$
✅ Conclusión
La longitud de la curva es exactamente \( \ln(2 + \sqrt{3}) \)
📝 Ejemplo 4 Calcular la longitud de arco de un arco completo de la cicloide estándar engendrada por una rueda de radio \( a \) que rueda sin deslizar:
$$ x(t) = a(t - \sin t), \quad y(t) = a(1 - \cos t) \quad (t \in [0, 2\pi]) $$
👉 PASO 1
Calculamos las derivadas de las ecuaciones paramétricas respecto a \( t \):
- \( x'(t) = a(1 - \cos t) \)
- \( y'(t) = a(\sin t) \)
👉 PASO 2
Sumamos sus cuadrados:
$$ [x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 = a^2 (1 - \cos t)^2 + a^2 \sin^2 t = a^2 \left( 1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t \right) $$
Como \( \cos^2 t + \sin^2 t = 1 \):
$$ = a^2 (1 - 2\cos t + 1) = a^2 (2 - 2\cos t) = 2a^2 (1 - \cos t) $$
👉 PASO 3
Empleamos la identidad del semiángulo \( 1 - \cos t = 2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right) \):
$$ [x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right) = 4a^2 \sin^2\left(\frac{t}{2}\right) $$
👉 PASO 4
Extraemos la raíz cuadrada teniendo en cuenta que para $$ t \in [0, 2\pi] \implies \frac{t}{2} \in [0, \pi] $$, donde el seno es no negativo:
$$ \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} = 2a \sin\left(\frac{t}{2}\right) $$
👉 PASO 5
Integramos en el periodo completo \( [0, 2\pi] \):
$$ L = \int_0^{2\pi} 2a \sin\left(\frac{t}{2}\right) \, dt = 2a \left[ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right]_0^{2\pi} = -4a \left[ \cos\left(\frac{2\pi}{2}\right) - \cos(0) \right] $$
$$ L = -4a (\cos\pi - \cos 0) = -4a (-1 - 1) = -4a (-2) = 8a $$
✅ Conclusión
La longitud total de un arco de cicloide es exactamente \( 8a \), cuatro veces el diámetro de la rueda generatriz.
📝 Ejemplo 5 Calcular el perímetro de la curva cardioide en coordenadas polares:
$$ r(\theta) = a(1 + \cos\theta) \quad (a > 0, \theta \in [0, 2\pi]) $$
👉 PASO 1
Calculamos la derivada polar \( r'(\theta) \):
$$ r'(\theta) = \frac{d}{d\theta}[a(1 + \cos\theta)] = -a\sin\theta $$
👉 PASO 2
Construimos la expresión bajo el radical de longitud en polares \( [r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2 \):
$$ [r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2 = a^2 (1 + \cos\theta)^2 + a^2 (-\sin\theta)^2 = a^2 \left( 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta \right) $$
$$ = a^2 (1 + 2\cos\theta + 1) = 2a^2 (1 + \cos\theta) $$
👉 PASO 3
Empleamos la identidad del ángulo mitad para el coseno $$ 1 + \cos\theta = 2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) $$:
$$ [r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2 = 2a^2 \cdot 2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = 4a^2 \cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) $$
👉 PASO 4
Por simetría de la cardioide respecto al eje polar horizontal, integramos de 0 a \( \pi \) y duplicamos el resultado:
$$ L = 2 \int_0^\pi \sqrt{4a^2 \cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)} \, d\theta = 2 \int_0^\pi 2a \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \, d\theta = 4a \int_0^\pi \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \, d\theta $$
👉 PASO 5
Integramos y evaluamos mediante Barrow:
$$ L = 4a \left[ 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \right]_0^\pi = 8a \left( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) \right) = 8a (1 - 0) = 8a $$
✅ Conclusión
El perímetro completo de la cardioide polar es exactamente \( 8a \)