9.2 Criterios de convergencia

Question

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Enunciado del ejercicio

ci-9-2-1 9.2 Criterios de convergencia En numerosas ocasiones resulta imposible calcular explícitamente la primitiva de una función integrando en términos de funciones elementales cerradas. En tales casos, los criterios de convergencia permiten dilucidar rigurosamente si la integral impropia converge o diverge sin necesidad de evaluar su primitiva analítica. 1. Criterio de Comparación Directa (o Mayoración): Sean $f, g: [a, +\infty) \to \mathbb{R}$ funciones continuas tales que $0 \le f(x) \le g(x)$ para todo $x \ge a$: - Si la integral mayorante $\int_a^\infty g(x) \, dx$ converge, entonces la integral minorada $\int_a^\infty f(x) \, dx$ también converge. - Si la integral minorada $\int_a^\infty f(x) \, dx$ diverge hacia $+\infty$, entonces la integral mayorante $\int_a^\infty g(x) \, dx$ también diverge. Ejemplo de comparación directa: Determinar la convergencia de $\int_1^\infty \frac{\sin^2 x}{x^3} \, dx$ Como $0 \le \sin^2 x \le 1$, tenemos la acotación puntual $0 \le \frac{\sin^2 x}{x^3} \le \frac{1}{x^3}$ Como la integral de Riemann $\int_1^\infty \frac{dx}{x^3}$ converge (al ser $p = 3 > 1$), por el criterio de comparación directa, $\int_1^\infty \frac{\sin^2 x}{x^3} \, dx$ converge. 2. Criterio de Comparación por Paso al Límite: Sean $f(x) \ge 0$ y $g(x) > 0$ continuas en $[a, +\infty)$. Consideremos el límite del cociente de ambas funciones en el infinito: $L = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$ - Si $0 < L < \infty$: ambas integrales $\int_a^\infty f(x) \, dx$ e $\int_a^\infty g(x) \, dx$ tienen exactamente el mismo carácter (ambas convergen o ambas divergen simultáneamente). - Si $L = 0$ y $\int_a^\infty g(x) \, dx$ converge, entonces $\int_a^\infty f(x) \, dx$ converge. - Si $L = \infty$ y $\int_a^\infty g(x) \, dx$ diverge, entonces $\int_a^\infty f(x) \, dx$ diverge. Ejemplo de comparación por paso al límite: Para $\int_1^\infty \frac{x^2 + 5}{x^4 + 3x + 1} \, dx$ Para $x \to \infty$, el comportamiento dominante del cociente es $\frac{x^2}{x^4} = \frac{1}{x^2}$ Tomamos como función de comparación $g(x) = \frac{1}{x^2}$: $L = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2 + 5}{x^4 + 3x + 1}}{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4 + 5x^2}{x^4 + 3x + 1} = 1 \in (0, \infty)$ Como $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} \, dx$ converge ($p = 2 > 1$), la integral propuesta converge. 3. Convergencia Absoluta y Condicional: Una integral impropia $\int_a^\infty f(x) \, dx$ se dice que es absolutamente convergente si la integral de su valor absoluto converge: $\int_a^\infty |f(x)| \, dx < \infty$ Teorema: Toda integral impropia absolutamente convergente es convergente ordinaria: $\int_a^\infty |f(x)| \, dx \text{ converge} \implies \int_a^\infty f(x) \, dx \text{ converge}$ Si una integral impropia converge pero no converge absolutamente, se dice que es condicionalmente convergente. 4. Criterio de Dirichlet para Integrales Impropias: La integral del producto $\int_a^\infty f(x) g(x) \, dx$ converge si se cumplen dos condiciones: 1. La función $f(x)$ tiene primitivas acotadas en todo intervalo: $\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \le M$ para todo $b \ge a$ 2. La función $g(x)$ es monótona decreciente y tiende a cero cuando $x \to \infty$ ($\lim_{x \to \infty} g(x) = 0$). Ejemplo célebre de Dirichlet: La integral de Dirichlet $\int_1^\infty \frac{\sin x}{x} \, dx$ - Las primitivas de $f(x) = \sin x$ están acotadas: $|\int_1^b \sin x \, dx| = |-\cos b + \cos 1| \le 2$ - La función $g(x) = \frac{1}{x}$ decrece monótonamente a 0 cuando $x \to \infty$ Por el criterio de Dirichlet, la integral converge. Sin embargo, no converge absolutamente ($\int_1^\infty \left|\frac{\sin x}{x}\right| dx = \infty$), por lo que es condicionalmente convergente. 5. Criterio de Abel: La integral $\int_a^\infty f(x) g(x) \, dx$ converge si la integral impropia $\int_a^\infty f(x) \, dx$ es convergente y la función $g(x)$ es monótona y acotada en $[a, +\infty)$ A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso: $\text{Ejemplo 1}$ Analizar la convergencia de la siguiente integral impropia de primera especie mediante comparación asintótica: $I = \int_1^\infty \frac{x + \sqrt{x}}{x^3 + \cos^2 x} \, dx$

PASO 1

Analizamos el signo de la función integrando en el intervalo $[1, +\infty)$

Como $x \ge 1$, el numerador satisface $x + \sqrt{x} > 0$, y el denominador $x^3 + \cos^2 x \ge 1 + 0 = 1 > 0$. Por tanto, el integrando es estrictamente positivo en todo el intervalo.

PASO 2

Identificamos el comportamiento asintótico dominante cuando $x \to \infty$:

- En el numerador, el término lineal domina sobre la raíz cuadrada ($x \gg \sqrt{x}$). - En el denominador, el término cúbico domina sobre el coseno acotado ($x^3 \gg \cos^2 x$). Por tanto, la fracción se comporta asintóticamente como:

$$g(x) = \frac{x}{x^3} = \frac{1}{x^2}$$

PASO 3

Calculamos el límite del cociente aplicando el Criterio de Comparación por Paso al Límite:

$$L = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + \sqrt{x}}{x^3 + \cos^2 x}}{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(x + \sqrt{x})}{x^3 + \cos^2 x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + x^{5/2}}{x^3 + \cos^2 x}$$

Dividimos numerador y denominador entre $x^3$:

$$L = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + x^{-1/2}}{1 + \frac{\cos^2 x}{x^3}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1$$

PASO 4

Como el límite es finito y no nulo ($L = 1 \in (0, \infty)$), ambas integrales comparten el mismo carácter.

Sabemos que la integral de comparación $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} \, dx$ converge porque $p = 2 > 1$

Conclusión

Por el Criterio de Comparación por Paso al Límite, la integral impropia $I$ es convergente.

Ejemplo 2 Analizar la convergencia de la integral impropia con singularidad en el origen:

$$I = \int_0^1 \frac{\sin x}{x^{5/2}} \, dx$$

PASO 1

Analizamos el comportamiento de la función en el entorno del origen $x \to 0^+$

Recordamos el desarrollo limitado y equivalente infinitesimal del seno en el origen:

$$\sin x \sim x \quad \text{cuando } x \to 0$$

PASO 2

Sustituimos el equivalente infinitesimal para determinar la función de comparación:

$$f(x) = \frac{\sin x}{x^{5/2}} \sim \frac{x}{x^{5/2}} = \frac{1}{x^{3/2}} = g(x)$$

PASO 3

Comprobamos el límite del cociente cuando $x \to 0^+$:

$$L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{\sin x}{x^{5/2}}}{\frac{1}{x^{3/2}}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1 \in (0, \infty)$$

PASO 4

Analizamos la convergencia de la integral de comparación de segunda especie:

$$\int_0^1 \frac{1}{x^{3/2}} \, dx$$

Aquí el exponente es $p = \frac{3}{2}$. Para integrales impropias de segunda especie en el origen, la integral converge si y solo si $p < 1$ Como $p = \frac{3}{2} = 1.5 \ge 1$, la integral de comparación es divergente hacia $+\infty$

Conclusión

Por el Criterio de Comparación en el origen, la integral impropia dada es divergente.

Ejemplo 3 Determinar para qué valores del parámetro real $\alpha \in \mathbb{R}$ es convergente la integral impropia mixta:

$$I(\alpha) = \int_0^\infty \frac{x^\alpha}{1 + x^2} \, dx$$

PASO 1

La integral presenta dos fuentes potenciales de impropiedad: una en el origen $x = 0$ (si $\alpha < 0$) y otra en el infinito $x \to \infty$

Por tanto, descomponemos la integral en dos partes en el punto intermedio $x = 1$:

$$I(\alpha) = \int_0^1 \frac{x^\alpha}{1 + x^2} \, dx + \int_1^\infty \frac{x^\alpha}{1 + x^2} \, dx = I_1 + I_2$$

Para que $I(\alpha)$ converja, deben converger simultáneamente $I_1$ e $I_2$

PASO 2

Estudio de la convergencia de $I_1$ en el origen ($x \to 0^+$):

Cuando $x \to 0^+$, el denominador tiende a $1 + 0^2 = 1$, por lo que:

$$\frac{x^\alpha}{1 + x^2} \sim x^\alpha = \frac{1}{x^{-\alpha}}$$

La integral $\int_0^1 \frac{dx}{x^{-\alpha}}$ converge si y solo si el exponente es menor que uno:

$$-\alpha < 1 \iff \alpha > -1$$

PASO 3

Estudio de la convergencia de $I_2$ en el infinito ($x \to \infty$):

Cuando $x \to \infty$, el denominador está dominado por $x^2$, por lo que:

$$\frac{x^\alpha}{1 + x^2} \sim \frac{x^\alpha}{x^2} = \frac{1}{x^{2 - \alpha}}$$

La integral de Riemann en el infinito $\int_1^\infty \frac{dx}{x^{2 - \alpha}}$ converge si y solo si el exponente es estrictamente mayor que uno:

$$2 - \alpha > 1 \iff \alpha < 1$$

PASO 4

Intersecamos las dos condiciones halladas para la convergencia simultánea:

$$\alpha > -1 \quad \text{y} \quad \alpha < 1 \iff \alpha \in (-1, 1)$$

Conclusión

La integral impropia converge si y solo si el parámetro $\alpha$ pertenece al intervalo abierto $(-1, 1)$

Ejemplo 4 Demostrar mediante el Criterio de Dirichlet que la integral impropia trigonométrica oscilante:

$$I = \int_1^\infty \frac{\cos x}{\sqrt{x}} \, dx$$

es condicionalmente convergente.

PASO 1

Aplicamos el Criterio de Dirichlet para el producto de funciones $f(x) = \cos x$ y $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$:

- Comprobamos la condición sobre $f(x)$: sus primitivas están acotadas para todo $b \ge 1$:

$$\left| \int_1^b \cos x \, dx \right| = |[\sin x]_1^b| = |\sin b - \sin 1| \le |\sin b| + |\sin 1| \le 1 + 1 = 2 = M < \infty$$

- Comprobamos la condición sobre $g(x)$: es continua, estrictamente positiva, monótona decreciente ($g'(x) = -\frac{1}{2x^{3/2}} < 0$) y tiende a cero:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$$

Por el Criterio de Dirichlet, la integral impropia $\int_1^\infty \frac{\cos x}{\sqrt{x}} \, dx$ es convergente.

PASO 2

Analizamos si la convergencia es absoluta estudiando la integral del valor absoluto:

$$J = \int_1^\infty \left| \frac{\cos x}{\sqrt{x}} \right| dx = \int_1^\infty \frac{|\cos x|}{\sqrt{x}} \, dx$$

Utilizamos la desigualdad elemental $|\cos x| \ge \cos^2 x$:

$$\frac{|\cos x|}{\sqrt{x}} \ge \frac{\cos^2 x}{\sqrt{x}} = \frac{1 + \cos(2x)}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{\cos(2x)}{2\sqrt{x}}$$

PASO 3

Analizamos las dos integrales resultantes:

- Por Dirichlet, la integral $\int_1^\infty \frac{\cos(2x)}{2\sqrt{x}} \, dx$ converge. - La integral potencial $\int_1^\infty \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = \frac{1}{2}\int_1^\infty \frac{dx}{x^{1/2}}$ diverge hacia $+\infty$ porque $p = \frac{1}{2} \le 1$ Como la suma de una integral divergente y una convergente diverge, la integral del valor absoluto $J$ diverge.

Conclusión

La integral converge pero no converge absolutamente, lo que demuestra que es condicionalmente convergente.

Ejemplo 5 Demostrar mediante el criterio de comparación de la integral que la serie de Euler-Maclaurin de la función gaussiana converge:

$$I = \int_0^\infty x^3 e^{-x^2} \, dx$$

calculando además su valor numérico exacto.

PASO 1

Demostramos la convergencia aplicando acotación exponencial. Para todo $x \ge 1$, se tiene que $e^{x^2/2} > x^3$, lo que implica:

$$x^3 e^{-x^2} = x^3 e^{-x^2/2} e^{-x^2/2} < e^{-x^2/2}$$

Como la integral de la campana gaussiana converge, la integral dada converge absolutamente.

PASO 2

Calculamos el valor exacto de la integral impropia realizando el cambio de variable:

$$t = x^2 \implies dt = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{dt}{2}$$

Transformamos los límites de integración: - Si $x = 0 \implies t = 0^2 = 0$ - Si $x \to \infty \implies t \to \infty$

PASO 3

Descomponemos el integrando $x^3 = x^2 \cdot x$ y sustituimos:

$$I = \int_0^\infty x^2 e^{-x^2} (x \, dx) = \int_0^\infty t e^{-t} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_0^\infty t e^{-t} \, dt$$

PASO 4

Integramos por partes la integral impropia en $t$:

- $u = t \implies du = dt$ - $dv = e^{-t} dt \implies v = -e^{-t}$

$$\int_0^\infty t e^{-t} \, dt = \lim_{b \to \infty} \left[ -t e^{-t} \right]_0^b + \int_0^\infty e^{-t} \, dt$$

Calculamos cada término: - $\lim_{b \to \infty} (-b e^{-b} - 0) = \lim_{b \to \infty} \frac{-b}{e^b} = 0$ - $\int_0^\infty e^{-t} \, dt = [-e^{-t}]_0^\infty = (0 - (-e^0)) = 1$ Por tanto:

$$\int_0^\infty t e^{-t} \, dt = 0 + 1 = 1$$

PASO 5

Multiplicamos por la constante exterior:

$$I = \frac{1}{2} (1) = \frac{1}{2}$$

Conclusión

La integral impropia converge rigurosamente y su valor exacto es $\frac{1}{2}$

9.2 Criterios de convergencia

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