7 Cinemática: aceleración en función de la velocidad
Separación de variables: deducción del método
Partimos de la definición de aceleración escrita como ecuación diferencial:
La idea de la separación de variables es agrupar todo lo que depende de \(v \) en un miembro y todo lo que depende de \(t \) en el otro.
Para ello hay que explicar por qué es legítimo "pasar \(dt \) multiplicando": escribimos la ecuación en forma diferencial, \(dv = a(v)\,dt \), que es la forma infinitesimal de la definición de derivada (\(dv/dt \) es el cociente de los diferenciales).
Dividiendo ambos miembros por \(a(v) \) (suponiendo \(a(v) eq 0 \) en el intervalo de interés):
Ahora cada miembro depende de una sola variable y se puede integrar: el miembro izquierdo respecto de \(v \) entre \(v_0 \) y \(v(t) \), y el derecho respecto de \(t \) entre \(t_0 \) y \(t \):
Esta ecuación da (en general de forma implícita) la velocidad en función del tiempo.
Una vez hallada \(v(t) \), la posición se obtiene con la ecuación integral de la sección 4:
El método consta, pues, de dos integraciones sucesivas: primero \(dv/a(v) \) para obtener \(v(t) \), después \(v(t)\,dt \) para obtener \(x(t) \)
Un móvil que avanza con velocidad inicial \(v_0 > 0 \) queda sometido a una desaceleración cuadrática con la velocidad, \(a(v) = -k\,v^2 \) (con \(k > 0 \)).
Determina su velocidad \(v(t) \) en función del tiempo.
Separando variables e integrando desde \(t_0 = 0 \): $$\int_{v_0}^{v} \frac{dv'}{-k\,v'^2} = t \rightarrow \frac{1}{k}\left(\frac{1}{v} - \frac{1}{v_0}\right) = t $$, de donde \(v(t) = \frac{v_0}{1 + k\,v_0\,t} \): la velocidad decae hiperbólicamente, más despacio que la exponencial del rozamiento lineal.
El caso del rozamiento viscoso: a = −b·v
El rozamiento viscoso (válido a velocidades bajas en un fluido) comunica una aceleración proporcional a la velocidad y de sentido contrario: \(a(v) = -b\,v ,\ \text{con}\ b > 0 \) constante.
Separando variables:
La integral de \(1/v' \) es el logaritmo neperiano: \(-\frac{1}{b}\ln\frac{v}{v_0} = t \), de donde:
La velocidad decae exponencialmente con constante de tiempo \(\tau = 1/b \): cada intervalo \(\tau \) la velocidad se reduce a la fracción \(1/e \approx 0,37 \) de la que tenía.
Integrando para la posición con \(x_0 = 0 \):
Cuando \(t \to \infty \), \(x \to v_0/b \): el móvil recorre una distancia finita aunque tarda un tiempo infinito en detenerse del todo.
Una canoa navega con velocidad inicial \(v_0 = 20 \, \text{m/s} \) cuando se apaga su motor, quedando frenada por una desaceleración viscosa \(a(v) = -b\,v \) con \(b = 0,1 \, \text{s}^{-1} \). Calcula su velocidad en \(t = 10 \, \text{s} \) y la distancia total que recorrerá hasta detenerse.
En \(t = 10 \, \text{s} \) su velocidad es \(v = 20\,e^{-1} \approx 7,36 \, \text{m/s} \), y la distancia total que recorrerá hasta pararse asintóticamente es \(20/0,1 = 200 \, \text{m} \)
Caída con rozamiento viscoso: la velocidad límite
Un caso de gran importancia física es la caída de un cuerpo sometido a la gravedad y a un rozamiento viscoso: \(a(v) = -g - b\,v \) (tomando el sentido positivo hacia arriba).
Separando variables:
Integramos con \(v(0) = v_0 \). Con el cambio \(u = -g - b\,v \), \(du = -b\,dv \):
Evaluando entre \(v_0 \) y \(v \) e igualando a \(t \):
Despejando \(v \): \(g + b\,v = (g + b\,v_0)\,e^{-bt} \), de donde:
Cuando \(t \to \infty \), \(e^{-bt} \to 0 \) y \(v \to -g/b \): es la velocidad límite (o velocidad terminal) de caída, \(v_{\text{lím}} = -g/b \), que se alcanza asintóticamente cuando el rozamiento equilibra exactamente al peso (\(a = 0 \)).
Es la velocidad a la que caen los paracaidistas con el paracaídas abierto.
Un cuerpo cae verticalmente en el seno de un fluido que ejerce una resistencia lineal de modo que su aceleración es $$a(v) = -g - b\,v ,\ \text{con}\ b = 1 \, \text{s}^{-1} $$ y \(g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \). Calcula su velocidad límite de caída.
Sustituyendo en \(v_{\text{lím}} = -g/b \), la velocidad límite es \(-9,8 \, \text{m/s} \): el cuerpo no puede caer más deprisa por mucho tiempo que pase cayendo.
El método general en dos pasos: resumen operativo
Ante una aceleración \(a(v) \) conocida: (1) separar variables, \(dv/a(v) = dt \), e integrar para hallar \(v(t) \) usando \(v_0 \); (2) integrar \(v(t) \) para hallar \(x(t) \) usando \(x_0 \). Si en algún paso la integral no es elemental, la solución queda en forma integral, que sigue siendo una respuesta válida y computable numéricamente.
Un proyectil puntual de masa \(m \) se lanza desde el origen con velocidad inicial \(v_0 \) y ángulo de salida \(\varphi \) con la horizontal.
Está sometido a la gravedad \(g \) y a un rozamiento del aire que le comunica una aceleración \(\vec{a}_r = -K\,\vec{v} \). Halla las componentes \(v_x(t) \) y \(v_y(t) \) de la velocidad, estudia el límite \(t \to \infty \) y escribe las ecuaciones paramétricas \(x(t) \ \text{e}\ y(t) \)
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir las ecuaciones diferenciales de cada componente aplicando la separación de variables.
A continuación integraremos cada componente con sus condiciones iniciales.
Para terminar integraremos las velocidades para obtener las posiciones y estudiaremos el comportamiento asintótico.
Ecuaciones diferenciales por componentes.
La aceleración total es \(\vec{a} = -K\,\vec{v} - g\,\vec{e}_y \). Por componentes: \(\frac{dv_x}{dt} = -K\,v_x \) y \(\frac{dv_y}{dt} = -K\,v_y - g \). Las condiciones iniciales son \(v_x(0) = v_0\cos\varphi \) y \(v_y(0) = v_0\,\text{sen}\,\varphi \)
Componente horizontal.
Separando variables: \(\frac{dv_x}{v_x} = -K\,dt \). Integrando: \(\ln\frac{v_x}{v_0\cos\varphi} = -Kt \), de donde:
Componente vertical.
Escribimos $$\frac{dv_y}{dt} = -K\left(v_y + \frac{g}{K}\right) $$ y separamos: \(\frac{dv_y}{v_y + g/K} = -K\,dt \). Integrando: $$\ln\frac{v_y + g/K}{v_0\,\text{sen}\,\varphi + g/K} = -Kt $$, de donde:
Se comprueba que \(v_y(0) = v_0\,\text{sen}\,\varphi \)
Límite cuando t tiende a infinito.
Cuando \(t \to \infty \), \(e^{-Kt} \to 0 \): \(v_x \to 0 \) y \(v_y \to -g/K \). El proyectil termina cayendo verticalmente con la velocidad límite \(-g/K \): el rozamiento ha anulado por completo la componente horizontal y la vertical se ha estabilizado en la velocidad terminal.
Ecuaciones paramétricas de la trayectoria.
Integrando \(v_x \) con \(x(0) = 0 \): $$x(t) = \int_0^t v_0\cos\varphi\,e^{-Kt'}\,dt' = \frac{v_0\cos\varphi}{K}\left(1 - e^{-Kt}\right) $$
Integrando \(v_y \) con \(y(0) = 0 \):
Obsérvese que \(x(t) \) tiende a un valor finito \(v_0\cos\varphi/K \): con rozamiento el alcance está acotado aunque el proyectil caiga indefinidamente.
Conclusión: Así pues, las componentes de la velocidad decaen exponencialmente hacia \((0, -g/K) \), y la trayectoria paramétrica viene dada por las expresiones halladas, con alcance horizontal acotado por el rozamiento.
Una lagartija, inicialmente en reposo, cae al vacío desde el tejado de un rascacielos.
Además del peso, experimenta un rozamiento que le comunica una aceleración \(\vec{a}_r = -K\,\vec{v} \) en sentido contrario a la velocidad. ¿Qué velocidad llevará al cabo de \(1 \, \text{s} \)? ¿Y al cabo de \(10 \, \text{s} \)? ¿Y cuando lleve un tiempo inmemorial cayendo? ¿Cuál será la máxima velocidad que podrá alcanzar? (Considera el movimiento unidimensional, \(K = 1 \, \text{s}^{-1} \) y \(g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \).)
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear la ecuación diferencial de la caída con rozamiento viscoso.
A continuación la resolveremos por separación de variables con velocidad inicial nula.
Para terminar evaluaremos en los instantes pedidos y hallaremos la velocidad límite.
Ecuación diferencial.
Tomando el sentido positivo hacia abajo, la aceleración es $$\frac{dv}{dt} = g - K\,v ,\ \text{con}\ v(0) = 0 $$
Resolución por separación de variables.
Separamos: \(\frac{dv}{g - K\,v} = dt \). Integramos desde \(0 \) hasta \(v \): con el cambio \(u = g - K\,v \), \(du = -K\,dv \),
Despejando: $$\frac{g-K\,v}{g} = e^{-Kt} \rightarrow v(t) = \frac{g}{K}\left(1 - e^{-Kt}\right) $$
Evaluaciones numéricas.
Con \(K = 1 \) y \(g = 9,8 \): \(v(t) = 9,8\left(1 - e^{-t}\right) \) (en \(\text{m/s} \)).
En \(t = 1 \, \text{s} \): $$v(1) = 9,8(1 - e^{-1}) = 9,8\cdot 0,6321 \approx 6,19 \, \text{m/s} $$
En \(t = 10 \, \text{s} \): $$v(10) = 9,8(1 - e^{-10}) \approx 9,8(1 - 0,000045) \approx 9,80 \, \text{m/s} $$: prácticamente la velocidad límite.
Velocidad límite.
Cuando \(t \to \infty \), \(e^{-Kt} \to 0 \) y \(v \to g/K = 9,8 \, \text{m/s} \). Esta es la máxima velocidad que puede alcanzar: a partir de ese valor el rozamiento equilibraría al peso y la aceleración se anularía.
Conclusión: Así pues, la lagartija lleva \(6,19 \, \text{m/s} \) al cabo de \(1 \, \text{s} \), \(9,80 \, \text{m/s} \) al cabo de \(10 \, \text{s} \), y su velocidad tiende asintóticamente a la velocidad límite de \(9,8 \, \text{m/s} \), que es la máxima que alcanzará.
Después de parar el motor de una canoa, esta tiene una aceleración en sentido opuesto a su velocidad y directamente proporcional al cuadrado de esta: \(a = -k\,v^2 \). Halla: (
a) la velocidad en función del tiempo; (
b) la distancia recorrida en un tiempo \(t \); (
c) la velocidad después de haber recorrido una distancia \(x \); (
d) describe las gráficas del movimiento.
Aplicación numérica:
si al parar el motor \(v_0 = 20 \, \text{m/s} \) y al cabo de \(15 \, \text{s} \) la velocidad se ha reducido a la mitad, determina \(k \)
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por separar variables en la ecuación diferencial para hallar la velocidad en función del tiempo.
A continuación integraremos la velocidad para obtener la posición.
Para terminar usaremos la relación diferencial entre velocidad y posición para hallar la velocidad en función de la distancia y determinaremos la constante con el dato numérico.
Apartado (a): velocidad en función del tiempo.
Separando variables: \(\frac{dv}{-k\,v^2} = dt \). Integramos desde \(v_0 \) hasta \(v \):
Despejando: $$\frac{1}{v} = \frac{1}{v_0} + k\,t \rightarrow v(t) = \frac{v_0}{1 + k\,v_0\,t} $$
Apartado (b): distancia recorrida.
$$x(t) = \int_0^t \frac{v_0}{1 + k\,v_0\,t'}\,dt' $$. Con el cambio \(u = 1 + k\,v_0\,t' \), \(du = k\,v_0\,dt' \):
$$x(t) = \frac{1}{k}\int_1^{1+k\,v_0\,t} \frac{du}{u} = \frac{1}{k}\ln\left(1 + k\,v_0\,t\right) $$ (con \(x_0 = 0 \)).
Apartado (c): velocidad en función de la distancia.
Aplicamos la relación diferencial \(v\,dv = a(x)\,dx \) con \(a = -k\,v^2 \): $$v\,dv = -k\,v^2\,dx \rightarrow \frac{dv}{v} = -k\,dx $$ (dividiendo por \(v^2 \), válido porque \(v > 0 \)).
Integrando desde \((0, v_0) \) hasta \((x, v) \): $$\ln\frac{v}{v_0} = -k\,x \rightarrow v(x) = v_0\,e^{-k\,x} $$: la velocidad decae exponencialmente con la distancia recorrida.
Apartado (d): gráficas y constante numérica.
La gráfica \(v \)-\(t \) es una hipérbola decreciente (\(v \propto 1/t \) para tiempos largos); la gráfica \(x \)-\(t \) es logarítmica creciente sin asíntota vertical (la canoa recorre distancias arbitrariamente grandes en tiempos largos, a diferencia del rozamiento lineal); la gráfica \(a \)-\(t \) decae como \(1/t^2 \)
Para hallar \(k \) usamos que \(v(15) = v_0/2 \): $$\frac{v_0}{1 + k\,v_0\cdot 15} = \frac{v_0}{2} \rightarrow 1 + 15k\,v_0 = 2 \rightarrow k = \frac{1}{15\,v_0} = \frac{1}{300} \approx 3,33\cdot 10^{-3} \, \text{m}^{-1} $$
Conclusión: Así pues, \(v(t) = v_0/(1+k\,v_0\,t) \), \(x(t) = (1/k)\ln(1+k\,v_0\,t) \), \(v(x) = v_0\,e^{-k\,x} \) y \(k \approx 3,33\cdot 10^{-3} \, \text{m}^{-1} \)
Un paracaidista de masa \(m \) abre su paracaídas y queda sometido a una aceleración \(a(v) = -g + \frac{k}{m}v^2 \) (tomando el sentido positivo hacia arriba; el rozamiento cuadrático se opone a la caída).
Si en el momento de abrir el paracaídas su velocidad hacia abajo es \(v_0 = 50 \, \text{m/s} \) (es decir, \(v(0) = -50 \, \text{m/s} \) en nuestro convenio), con \(k/m = 0,02 \, \text{m}^{-1} \) y \(g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \), halla la velocidad límite de descenso y demuestra que la velocidad tiende a ella.
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar la velocidad límite imponiendo aceleración nula.
A continuación analizaremos el signo de la aceleración a cada lado de la velocidad límite.
Para terminar concluiremos el comportamiento asintótico.
Velocidad límite.
La velocidad límite cumple \(a(v_{\text{lím}}) = 0 \): $$-g + \frac{k}{m}v_{\text{lím}}^2 = 0 \rightarrow v_{\text{lím}}^2 = \frac{gm}{k} $$
Numéricamente: $$v_{\text{lím}}^2 = 9,8/0,02 = 490 \rightarrow |v_{\text{lím}}| = \sqrt{490} \approx 22,1 \, \text{m/s} $$. Con el sentido positivo hacia arriba, \(v_{\text{lím}} = -22,1 \, \text{m/s} \) (descenso).
Análisis del signo de la aceleración.
Escribimos $$a(v) = \frac{k}{m}\left(v^2 - v_{\text{lím}}^2\right) $$ (con \(v_{\text{lím}}^2 = gm/k \)).
Si \(|v| > |v_{\text{lím}}| \) (caída más rápida que la límite), entonces \(v^2 > v_{\text{lím}}^2 \) y \(a(v) > 0 \): la aceleración apunta hacia arriba y frena la caída.
Si \(|v| < |v_{\text{lím}}| \), \(a(v) < 0 \) y el cuerpo acelera hacia abajo.
En ambos casos la velocidad es empujada hacia \(v_{\text{lím}} \)
Comportamiento asintótico.
Como la aceleración siempre apunta hacia la velocidad límite y se anula justo en ella, \(v_{\text{lím}} \) es un punto de equilibrio estable: partiendo de \(v(0) = -50 \, \text{m/s} \) (más rápido que la límite), la aceleración es positiva, la caída se frena progresivamente y la velocidad tiende asintóticamente a \(-22,1 \, \text{m/s} \) sin sobrepasarla nunca.
Conclusión: Así pues, la velocidad límite de descenso es \(22,1 \, \text{m/s} \) hacia abajo, y cualquier velocidad inicial tiende asintóticamente a ella porque la aceleración siempre empuja hacia ese valor y se anula en él.
Un coche de alta gama acelera con la aceleración máxima constante \(a_{\text{máx}} \) que le permite pasar de \(0 \) a \(100 \, \text{km/h} \) en \(3 \, \text{s} \), pero el rozamiento con el aire provoca una aceleración contraria \(\vec{a}_r = -k\,\vec{v} \) con \(k = 0,2 \, \text{s}^{-1} \). ¿A qué velocidad irá al cabo de \(6 \, \text{s} \) desde que se pone en marcha? ¿Cuál es la velocidad máxima que puede conseguir el vehículo?
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la aceleración máxima a partir del dato de \(0 \) a \(100 \, \text{km/h} \). A continuación plantearemos y resolveremos la ecuación diferencial con rozamiento lineal.
Para terminar hallaremos la velocidad a los \(6 \, \text{s} \) y la velocidad máxima como velocidad límite.
Aceleración máxima.
Ecuación con rozamiento.
La aceleración total es $$\frac{dv}{dt} = a_{\text{máx}} - k\,v ,\ \text{con}\ v(0) = 0 $$. Escribimos $$\frac{dv}{dt} = -k\left(v - \frac{a_{\text{máx}}}{k}\right) $$ y separamos variables:
Integrando desde \(0 \) hasta \(v \): $$\ln\frac{v - a_{\text{máx}}/k}{-a_{\text{máx}}/k} = -kt $$, de donde:
Velocidad a los 6 s y velocidad máxima.
La velocidad límite es $$v_{\text{lím}} = a_{\text{máx}}/k = 9,26/0,2 = 46,3 \, \text{m/s} $$ (unos \(167 \, \text{km/h} \)): es la máxima velocidad que puede conseguir, cuando el motor a plena potencia solo compensa el rozamiento.
En \(t = 6 \, \text{s} \): $$v(6) = 46,3\left(1 - e^{-0,2\cdot 6}\right) = 46,3(1 - e^{-1,2}) = 46,3\cdot 0,699 \approx 32,4 \, \text{m/s} $$ (unos \(117 \, \text{km/h} \)).
Conclusión: Así pues, a los \(6 \, \text{s} \) el coche va a \(32,4 \, \text{m/s} \) (\(117 \, \text{km/h} \)) y su velocidad máxima con ese rozamiento es \(46,3 \, \text{m/s} \) (\(167 \, \text{km/h} \)).