26 Trabajo y energía: potencia
Definición de potencia
La potencia es la rapidez con la que se realiza un trabajo o, equivalentemente, con la que se transfiere energía:
La potencia media desarrollada en un intervalo de tiempo \(\Delta t \) es:
Dos máquinas pueden realizar el mismo trabajo, pero la más potente lo realiza en menos tiempo.
La potencia es una magnitud escalar, como el trabajo del que deriva.
Un motor eleva verticalmente una carga de \(100\text{ kg} \) con velocidad constante de \(2\text{ m/s} \)
La fuerza del motor equilibra exactamente al peso, por lo que la potencia desarrollada es:
Deducción de la relación entre potencia, fuerza y velocidad
Partimos del trabajo elemental realizado por una fuerza, \(dW = \vec{F}\cdot d\vec{r} \), y dividimos ambos miembros por el diferencial de tiempo \(dt \):
El primer miembro es la definición de potencia y el cociente \(\frac{d\vec{r}}{dt} \) es la velocidad \(\vec{v} \), de modo que se obtiene:
La potencia instantánea es el producto escalar de la fuerza aplicada por la velocidad de su punto de aplicación.
Si la fuerza es constante y paralela a la velocidad, la expresión se simplifica a:
Esta fórmula explica por qué mantener una velocidad alta contra una resistencia grande exige mucha potencia.
Unidades de potencia
La unidad de potencia en el Sistema Internacional es el vatio, definido como:
En el ámbito de los motores se usa tradicionalmente el caballo de vapor, con la equivalencia:
Es importante no confundir la potencia con la energía: el kilovatio-hora es una unidad de energía, no de potencia, que equivale a:
y representa la energía transferida por una potencia de \(1 \text{ kW} \) durante una hora.
Rendimiento de las máquinas
Ninguna máquina real convierte íntegramente la energía que consume en trabajo útil: parte se disipa siempre en forma de calor por rozamientos internos.
El rendimiento de una máquina es el cociente entre la potencia útil que entrega y la potencia que consume:
Es un número adimensional comprendido entre 0 y 1, que suele expresarse en tanto por ciento.
Un rendimiento del 80% significa que de cada 100 J consumidos, 80 J se convierten en trabajo útil y 20 J se disipan.
Un motor eléctrico consume \(2500\text{ W} \) y entrega una potencia útil de \(2000\text{ W} \)
Su rendimiento es:
Potencia, fuerza y velocidad: por qué se reduce de marcha en las subidas
A potencia constante, la relación \(P = Fv \) puede escribirse como:
La fuerza de tracción disponible disminuye al aumentar la velocidad: con la misma potencia del motor, ir más deprisa implica empujar con menos fuerza.
Por eso los vehículos reducen de marcha en las subidas: al circular a menor velocidad, el motor puede ejercer una mayor fuerza de tracción para vencer la componente del peso.
Del mismo modo, la velocidad máxima de un vehículo viene limitada por la potencia: cuando la fuerza de tracción iguala a la resistencia aerodinámica, ya no es posible acelerar más.
¿Qué potencia desarrolla el motor de un ascensor que eleva una masa de \(500\text{ kg} \) hasta \(10\text{ m} \) de altura en \(20\text{ s} \), subiendo a velocidad constante?
Explicación: Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el trabajo realizado por el motor a partir de la fuerza que debe ejercer.
A continuación dividiremos ese trabajo entre el tiempo empleado.
Para terminar expresaremos el resultado en vatios y en kilovatios.
Trabajo realizado por el motor.
Al subir a velocidad constante, la fuerza del motor equilibra exactamente al peso, \(F = mg \), y el desplazamiento es vertical hacia arriba, en la misma dirección y sentido que la fuerza.
El trabajo es:
Cálculo de la potencia.
La potencia media es el trabajo dividido entre el tiempo, según la fórmula general \(P = \frac{W}{t} \):
Los datos son: \(m = 500\text{ kg} \), \(h = 10\text{ m} \), \(t = 20\text{ s} \) y \(g = 9,8\text{ m/s}^2 \)
Sustituyendo:
Conclusión: El motor desarrolla una potencia de 2450 W, es decir, 2,45 kW.
Un coche de \(1200\text{ kg} \) acelera desde el reposo hasta \(100\text{ km/h} \) en \(10\text{ s} \). Calcula la potencia media desarrollada por el motor, despreciando las resistencias.
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por convertir la velocidad a unidades del Sistema Internacional.
A continuación calcularemos la variación de energía cinética del coche.
Para terminar dividiremos entre el tiempo para obtener la potencia media.
Conversión de la velocidad.
La fórmula general de conversión es \(v = \frac{100}{3,6}\text{ m/s} \):
Variación de la energía cinética.
El trabajo neto realizado por el motor es la variación de energía cinética:
Calculando el cuadrado: \((27,78)^2 = 771,73 \)
Luego:
Potencia media.
Dividiendo entre el tiempo \(t = 10\text{ s} \):
En caballos de vapor:
Conclusión: El motor desarrolla una potencia media de 46,3 kW, unos 63 CV, sin contar las pérdidas por resistencias.
Sobre un cuerpo actúa una fuerza constante de \(200\text{ N} \) en la dirección del movimiento, y su velocidad varía con el tiempo según \(v(t) = 3+2t ,\ \text{con}\ v \) en m/s y \(t \) en segundos.
Calcula la potencia instantánea desarrollada por la fuerza en función del tiempo y su valor en \(t = 4\text{ s} \)
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la fórmula general de la potencia instantánea.
A continuación sustituiremos la fuerza y la velocidad en función del tiempo.
Para terminar evaluaremos en el instante pedido.
Fórmula de la potencia instantánea.
Al ser la fuerza paralela a la velocidad, la fórmula general \(P = \vec{F}\cdot\vec{v} \) se reduce a:
Los datos son: \(F = 200\text{ N} \) y \(v(t) = 3+2t \)
Potencia en función del tiempo.
Sustituyendo:
La potencia crece linealmente con el tiempo porque, a fuerza constante, aumentar la velocidad exige más potencia.
Evaluación en \(t = 4\text{ s} \)
Sustituyendo \(t = 4 \):
Conclusión: La potencia instantánea es \(P(t) = 600+400t \) vatios, y en \(t = 4\text{ s} \) vale 2200 W.
Una bomba eleva un caudal de \(500\text{ litros por minuto} \) hasta una altura de \(20\text{ m} \). Si el rendimiento de la bomba es del 75%, calcula la potencia eléctrica que consume.
Explicación: Para resolver este ejemplo empezaremos por convertir el caudal a flujo másico en kg/s.
A continuación calcularemos la potencia útil necesaria para elevar el agua.
Para terminar aplicaremos el rendimiento para obtener la potencia consumida.
Conversión del caudal a flujo másico.
Un litro de agua tiene una masa de \(1 \text{ kg} \), luego \(500\text{ L/min} \) equivalen a \(500\text{ kg/min} \)
El flujo másico es:
Potencia útil.
La potencia útil es la energía potencial comunicada al agua por unidad de tiempo, según la fórmula general \(P_{\text{útil}} = \dot{m}gh \)
Con \(\dot{m} = 8,33\text{ kg/s} \), \(g = 9,8\text{ m/s}^2 \) y \(h = 20\text{ m} \):
Potencia consumida.
La fórmula general del rendimiento es $$\eta = \frac{P_{\text{útil}}}{P_{\text{consumida}}} $$, de donde:
Con \(\eta = 0,75 \):
Conclusión: La bomba consume una potencia eléctrica de 2177 W para entregar 1633 W útiles al agua.
Un ciclista desarrolla una potencia constante de \(300\text{ W} \). Si la fuerza total de resistencia (rodadura más aire) que se opone a su avance es de \(40\text{ N} \), calcula la velocidad constante que puede mantener el ciclista.
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por plantear la condición de velocidad constante con la segunda ley de Newton.
A continuación aplicaremos la relación entre potencia, fuerza y velocidad.
Para terminar despejaremos la velocidad y la expresaremos en km/h.
Condición de velocidad constante.
A velocidad constante la aceleración es nula, luego la fuerza que ejerce el ciclista equilibra exactamente a la resistencia:
Relación potencia-fuerza-velocidad.
La fórmula general es \(P = Fv \), de donde se despeja la fórmula general de la velocidad:
Los datos son: \(P = 300\text{ W} \) y \(F = 40\text{ N} \)
Sustituyendo:
Conversión a km/h.
Multiplicando por 3,6:
Conclusión: Con 300 W y una resistencia de 40 N, el ciclista puede mantener una velocidad constante de 27 km/h.