35 Rotación: momento de inercia

Definición para un sistema de partículas

Consideremos un sólido formado por partículas de masas $m_i $ situadas a distancias $r_i $ del eje de giro.

Si el sólido gira con velocidad angular $\omega $, cada partícula se mueve con velocidad lineal $v_i = r_i\omega $, como vimos en la sección anterior.

La energía cinética total del sistema es la suma de las energías cinéticas de todas las partículas:

$$K = \sum_i \frac{1}{2}m_i v_i^2 = \sum_i \frac{1}{2}m_i r_i^2\omega^2 $$

Como $\omega $ es común a todas las partículas, puede salir fuera del sumatorio:

$$K = \frac{1}{2}\left(\sum_i m_i r_i^2\right)\omega^2 $$

El paréntesis es una propiedad del cuerpo y de la posición del eje, independiente del movimiento: es el momento de inercia.

$$I = \sum_i m_i r_i^2 $$

Así, la energía cinética de rotación se escribe $K = \frac{1}{2}I\omega^2 $, en perfecta analogía con $K = \frac{1}{2}mv^2 $ de la traslación.

El momento de inercia se mide en kilogramos por metro cuadrado, $\text{kg}\cdot\text{m}^2 $

Obsérvese que la distancia aparece al cuadrado: alejar la masa del eje aumenta mucho más la inercia que aumentar la masa.

Definición para un cuerpo continuo

Un cuerpo continuo puede verse como un conjunto infinito de porciones infinitesimales de masa $dm $, y el sumatorio se convierte en una integral:

$$I = \int r^2\,dm $$

donde $r $ es la distancia de cada porción de masa al eje de giro.

Para calcular la integral hay que expresar $dm $ en función de la geometría del cuerpo mediante su densidad.

Según la dimensión del cuerpo se usa la densidad lineal $\lambda $ (masa por unidad de longitud, $dm = \lambda\,dx $), la densidad superficial $\sigma $ (masa por unidad de área, $dm = \sigma\,dA $) o la densidad volumétrica $\rho $ (masa por unidad de volumen, $dm = \rho\,dV $).

Si el cuerpo es homogéneo, la densidad es constante y vale la masa total dividida por la longitud, el área o el volumen totales.

Momento de inercia de una varilla delgada respecto a su centro

Consideremos una varilla delgada, homogénea, de masa $M $ y longitud $L $, y un eje perpendicular a la varilla que pasa por su centro.

Colocamos el origen de coordenadas en el centro, de modo que la varilla ocupa el intervalo desde $x = -\frac{L}{2} $ hasta $x = \frac{L}{2} $

La densidad lineal es constante:

$$\lambda = \frac{M}{L} $$

Cada porción $dx $ situada en la posición $x $ tiene masa $dm = \lambda\,dx $ y dista $|x| $ del eje, luego aporta $x^2\,dm $ al momento de inercia.

$$I = \int_{-L/2}^{L/2} x^2\lambda\,dx = \lambda\int_{-L/2}^{L/2} x^2\,dx $$

Una primitiva de $x^2 $ es $\frac{x^3}{3} $, luego aplicando la regla de Barrow:

$$I = \lambda\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-L/2}^{L/2} = \lambda\left(\frac{(L/2)^3}{3} - \frac{(-L/2)^3}{3}\right) = \lambda\frac{2(L/2)^3}{3} $$

Operando:

$$I = \lambda\frac{2L^3}{24\cdot 3} = \lambda\frac{L^3}{12} $$

Sustituyendo $\lambda = \frac{M}{L} $:

$$I = \frac{M}{L}\cdot\frac{L^3}{12} = \frac{1}{12}ML^2 $$

Momento de inercia de un anillo delgado respecto a su eje central

Consideremos un anillo delgado de masa $M $ y radio $R $, y el eje perpendicular al plano del anillo que pasa por su centro.

Todos los puntos del anillo están a la misma distancia $R $ del eje, luego $r^2 = R^2 $ es constante y sale de la integral:

$$I = \int R^2\,dm = R^2\int dm $$

La integral de $dm $ extendida a todo el cuerpo es simplemente la masa total $M $, luego:

$$I = MR^2 $$

Este es el mayor momento de inercia posible para una masa $M $ contenida a distancia máxima $R $ del eje, porque toda la masa está lo más lejos posible.

Momento de inercia de un disco macizo respecto a su eje central

Consideremos un disco macizo, homogéneo, de masa $M $ y radio $R $, y el eje perpendicular al disco que pasa por su centro.

Dividimos el disco en anillos concéntricos de radio $r $ y anchura $dr $

Cada anillo tiene área $dA = 2\pi r\,dr $ (longitud de la circunferencia por la anchura), y su masa es:

$$dm = \sigma\,dA = \sigma\cdot 2\pi r\,dr $$

donde la densidad superficial del disco homogéneo es:

$$\sigma = \frac{M}{\pi R^2} $$

Todos los puntos del anillo de radio $r $ distan $r $ del eje, luego, como en el apartado anterior, cada anillo aporta $r^2\,dm $:

$$I = \int_{0}^{R} r^2\cdot\sigma\cdot 2\pi r\,dr = 2\pi\sigma\int_{0}^{R} r^3\,dr $$

Una primitiva de $r^3 $ es $\frac{r^4}{4} $, luego:

$$I = 2\pi\sigma\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{R} = 2\pi\sigma\frac{R^4}{4} = \frac{\pi\sigma R^4}{2} $$

Sustituyendo $\sigma = \frac{M}{\pi R^2} $:

$$I = \frac{\pi R^4}{2}\cdot\frac{M}{\pi R^2} = \frac{1}{2}MR^2 $$

El disco tiene la mitad de inercia que el anillo de igual masa y radio, porque su masa está repartida también en el interior, más cerca del eje.

Teorema de Steiner

El momento de inercia depende del eje elegido.

El teorema de Steiner relaciona el momento de inercia respecto a un eje cualquiera con el momento de inercia respecto a un eje paralelo que pasa por el centro de masas:

$$I = I_{CM} + Md^2 $$

donde $d $ es la distancia entre ambos ejes.

La demostración parte de escribir la distancia de cada partícula al nuevo eje en función de su distancia al eje del centro de masas.

Si el eje se desplaza una distancia $d $ en la dirección del eje $x $, la coordenada de cada partícula respecto al nuevo eje es $x_i' = x_i - d $, siendo $x_i $ la coordenada respecto al centro de masas.

El momento de inercia respecto al nuevo eje es:

$$I = \sum_i m_i(x_i - d)^2 = \sum_i m_i x_i^2 - 2d\sum_i m_i x_i + d^2\sum_i m_i $$

El primer sumatorio es $I_{CM} $ por definición.

El tercer sumatorio es la masa total $M $

El sumatorio intermedio, $\sum_i m_i x_i $, es nulo: por definición de centro de masas, la suma de los momentos de primer orden respecto al propio centro de masas vale cero, porque las masas a un lado compensan exactamente a las del otro.

Por tanto:

$$I = I_{CM} + Md^2 $$

El teorema muestra que el momento de inercia es mínimo respecto al eje que pasa por el centro de masas, y crece con el cuadrado de la distancia al desplazar el eje.

Como aplicación, el momento de inercia de la varilla del apartado 3 respecto a un eje perpendicular por uno de sus extremos ($d = \frac{L}{2} $) es:

$$I = \frac{1}{12}ML^2 + M\left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{1}{12}ML^2 + \frac{1}{4}ML^2 = \frac{1}{3}ML^2 $$

Momentos de inercia de sólidos habituales

Recopilamos los resultados más usados, todos referidos a ejes que pasan por el centro de masas salvo indicación contraria.

Varilla delgada respecto a un eje perpendicular por su centro: $I = \frac{1}{12}ML^2 $

Varilla delgada respecto a un eje perpendicular por un extremo: $I = \frac{1}{3}ML^2 $

Anillo delgado respecto a su eje central perpendicular: $I = MR^2 $

Disco macizo respecto a su eje central perpendicular: $I = \frac{1}{2}MR^2 $

Disco macizo respecto a un diámetro: $I = \frac{1}{4}MR^2 $

Esfera maciza respecto a un diámetro: $I = \frac{2}{5}MR^2 $

Esfera hueca delgada respecto a un diámetro: $I = \frac{2}{3}MR^2 $

Cilindro macizo respecto a su eje: $I = \frac{1}{2}MR^2 $

Cilindro hueco delgado respecto a su eje: $I = MR^2 $

Esfera, cilindro y varilla con sus ejes de giro y momentos de inercia

📝 Ejemplo:

Una varilla delgada de masa $M = 3 \text{ kg} $ y longitud $L = 2 \text{ m} $ gira alrededor de un eje perpendicular a ella que pasa por uno de sus extremos.

Calcula su momento de inercia.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por recordar la fórmula del momento de inercia de la varilla respecto a su centro.

A continuación aplicaremos el teorema de Steiner para trasladar el eje a un extremo.

Para terminar sustituiremos los datos numéricos.

👉 PASO 1

Momento de inercia respecto al centro.

Para una varilla delgada de masa $M $ y longitud $L $, el momento de inercia respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro es:

$$I_{CM} = \frac{1}{12}ML^2 $$

👉 PASO 2

Aplicación del teorema de Steiner.

El eje por el extremo es paralelo al del centro y dista de él $d = \frac{L}{2} $

Por el teorema de Steiner $I = I_{CM} + Md^2 $, luego:

$$I = \frac{1}{12}ML^2 + M\left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{1}{12}ML^2 + \frac{1}{4}ML^2 = \frac{1}{3}ML^2 $$

👉 PASO 3

Sustitución de los datos.

Con $M = 3 \text{ kg} $ y $L = 2 \text{ m} $:

$$I = \frac{1}{3}\cdot 3\cdot 2^2 = 4 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $$

✅ Conclusión

El momento de inercia de la varilla respecto a un eje perpendicular por su extremo es de $4 \text{ kg/m}^2 .$

📝 Ejemplo 1:

Una barra de longitud $L $ y masa $M $ tiene una densidad lineal no uniforme $\lambda(x) = \lambda_0\frac{x}{L} $, donde $x $ se mide desde el extremo izquierdo.

Calcula su momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la barra que pasa por el extremo $x = 0 $, expresado en función de $M $ y $L $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por determinar la constante lambda sub cero imponiendo que la masa total de la barra sea eme mayúscula.

A continuación plantearemos la integral del momento de inercia con esa densidad.

Para terminar resolveremos la integral y eliminaremos lambda sub cero.

👉 PASO 1

Determinación de lambda sub cero.

La masa total es la integral de la densidad en toda la barra:

$$M = \int_{0}^{L} \lambda(x)\,dx = \int_{0}^{L} \lambda_0\frac{x}{L}\,dx $$

Sacando las constantes de la integral:

$$M = \frac{\lambda_0}{L}\int_{0}^{L} x\,dx = \frac{\lambda_0}{L}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{L} = \frac{\lambda_0 L}{2} $$

Despejando la constante:

$$\lambda_0 = \frac{2M}{L} $$

👉 PASO 2

Integral del momento de inercia.

Cada porción situada en $x $ dista $x $ del eje (que pasa por $x = 0 $), luego por definición:

$$I = \int_{0}^{L} x^2\lambda(x)\,dx = \int_{0}^{L} x^2\lambda_0\frac{x}{L}\,dx $$

Sacando las constantes:

$$I = \frac{\lambda_0}{L}\int_{0}^{L} x^3\,dx = \frac{\lambda_0}{L}\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{L} = \frac{\lambda_0 L^3}{4} $$

👉 PASO 3

Sustitución de lambda sub cero.

Sustituyendo $\lambda_0 = \frac{2M}{L} $:

$$I = \frac{2M}{L}\cdot\frac{L^3}{4} = \frac{1}{2}ML^2 $$

✅ Conclusión

El momento de inercia es un medio de eme mayúscula por ele al cuadrado, mayor que el un tercio de la varilla uniforme, porque la densidad crece hacia el extremo alejado del eje y la masa se concentra lejos de él.

📝 Ejemplo 2:

Un disco macizo y homogéneo de masa $M $ y radio $R $ tiene un agujero circular de radio $\frac{R}{2} $ cuyo centro dista $\frac{R}{2} $ del centro del disco.

Calcula el momento de inercia del disco agujereado respecto al eje central perpendicular al disco.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la masa que se ha extraído al hacer el agujero.

A continuación calcularemos el momento de inercia del agujero respecto al eje central usando el teorema de Steiner.

Para terminar restaremos esa contribución del momento de inercia del disco completo.

👉 PASO 1

Masa del agujero.

El agujero es un disco de radio $\frac{R}{2} $ de la misma densidad superficial $\sigma $ que el disco original.

Su masa es proporcional a su área:

$$m = \sigma\cdot\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{4}\sigma $$

Como la masa total es $M = \sigma\pi R^2 $, dividiendo:

$$m = \frac{M}{4} $$

👉 PASO 2

Momento de inercia del agujero respecto al eje central.

Respecto a su propio centro, el agujero tendría $$I_{ag,CM} = \frac{1}{2}m\left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{mR^2}{8} $$

Su centro dista $d = \frac{R}{2} $ del centro del disco, luego por Steiner:

$$I_{ag} = \frac{mR^2}{8} + m\left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{mR^2}{8} + \frac{mR^2}{4} = \frac{3mR^2}{8} $$

👉 PASO 3

Resta del disco completo.

El disco sin agujero tiene $I_{disco} = \frac{1}{2}MR^2 $

Restando la parte extraída, con $m = \frac{M}{4} $:

$$I = \frac{1}{2}MR^2 - \frac{3}{8}\cdot\frac{M}{4}R^2 = \frac{1}{2}MR^2 - \frac{3}{32}MR^2 = \frac{16 - 3}{32}MR^2 = \frac{13}{32}MR^2 $$

✅ Conclusión

El momento de inercia del disco agujereado es trece partido por treinta y dos de eme mayúscula por erre mayúscula al cuadrado, algo menor que el del disco completo.

📝 Ejemplo 3:

Dos masas $M $ y $m $ están unidas por una varilla rígida de longitud $L $ y masa despreciable.

Demuestra que el momento de inercia del sistema respecto a un eje perpendicular a la varilla es mínimo cuando el eje pasa por el centro de masas.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir el momento de inercia en función de la posición del eje.

A continuación derivaremos esa función para encontrar su mínimo.

Para terminar comprobaremos que la posición del mínimo coincide con el centro de masas.

👉 PASO 1

Momento de inercia en función de la posición del eje.

Sea $x $ la distancia del eje a la masa $M $, de modo que la distancia a la masa $m $ es $L - x $

Tratando ambas masas como puntuales:

$$I(x) = Mx^2 + m(L - x)^2 $$

👉 PASO 2

Búsqueda del mínimo.

Derivamos respecto a $x $:

$$\frac{dI}{dx} = 2Mx + 2m(L - x)(-1) = 2Mx - 2m(L - x) $$

Igualamos a cero para hallar el extremo:

$$2Mx - 2m(L - x) = 0 $$

Dividiendo por dos y despejando:

$$Mx = m(L - x) $$

$$x(M + m) = mL $$

$$x = \frac{mL}{M + m} $$

La derivada segunda es $\frac{d^2I}{dx^2} = 2M + 2m > 0 $, luego es un mínimo.

👉 PASO 3

Identificación con el centro de masas.

La posición del centro de masas medida desde $M $ es, por definición:

$$x_{CM} = \frac{M\cdot 0 + m\cdot L}{M + m} = \frac{mL}{M + m} $$

que coincide exactamente con la posición del mínimo hallada.

✅ Conclusión

El momento de inercia es mínimo cuando el eje pasa por el centro de masas, en coherencia con el teorema de Steiner, que añade un término positivo al desplazar el eje.

📝 Ejemplo 4:

Un disco macizo y homogéneo de masa $M = 2 \text{ kg} $ y radio $R = 0,3 \text{ m} $ lleva soldado en su borde un aro delgado de masa $m = 1 \text{ kg} $ y el mismo radio.

Calcula el momento de inercia del conjunto respecto al eje central perpendicular al disco.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por recordar que el momento de inercia de un sistema compuesto es la suma de los momentos de inercia de sus partes respecto al mismo eje.

A continuación calcularemos la contribución del disco y la del aro.

Para terminar sumaremos ambas.

👉 PASO 1

Contribución del disco.

El disco macizo respecto a su eje central tiene:

$$I_{disco} = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 0,3^2 = 0,09 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $$

👉 PASO 2

Contribución del aro.

Todos los puntos del aro están a distancia $R $ del eje, luego:

$$I_{aro} = mR^2 = 1\cdot 0,3^2 = 0,09 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $$

Obsérvese que el aro, con la mitad de masa que el disco, aporta lo mismo, porque toda su masa está en el borde, lo más lejos posible del eje.

👉 PASO 3

Momento de inercia total.

Sumando ambas contribuciones respecto al mismo eje:

$$I = 0,09 + 0,09 = 0,18 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $$

✅ Conclusión

El momento de inercia del conjunto es $$0,18 \text{ kg/m}^2 , con igual aportación del disco y del aro.$$

📝 Ejemplo 5:

Una esfera maciza y homogénea de masa $M = 2 \text{ kg} $ y radio $R = 0,1 \text{ m} $ gira alrededor de un eje tangente a su superficie.

Calcula su momento de inercia respecto a ese eje.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir el momento de inercia de la esfera respecto a un diámetro, que pasa por su centro de masas.

A continuación aplicaremos el teorema de Steiner, ya que el eje tangente es paralelo al diámetro y dista de él un radio.

Para terminar sustituiremos los datos numéricos.

👉 PASO 1

Momento de inercia respecto a un diámetro.

Para una esfera maciza respecto a un diámetro que pasa por su centro:

$$I_{CM} = \frac{2}{5}MR^2 $$

👉 PASO 2

Aplicación del teorema de Steiner.

El eje tangente es paralelo a ese diámetro y dista de él $d = R $, luego:

$$I = I_{CM} + Md^2 = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2 $$

👉 PASO 3

Sustitución de los datos.

Con $M = 2 \text{ kg} $ y $R = 0,1 \text{ m} $:

$$I = \frac{7}{5}\cdot 2\cdot 0,1^2 = 0,028 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $$

✅ Conclusión

El momento de inercia respecto al eje tangente es $$0,028 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 , tres coma cinco veces mayor que respecto al diámetro central.$$