49 Ondas: ondas en cuerdas
Planteamiento: ¿de qué depende la velocidad en una cuerda?
En una cuerda tensa e inextensible, la perturbación se transmite porque cada trozo de cuerda tira de sus vecinos a través de la tensión.
La velocidad de propagación \(v\) de las ondas en la cuerda depende de dos propiedades de la cuerda: la tensión \(T\) a la que está sometida, que es la fuerza con la que cada trozo tira del siguiente, y la densidad lineal \(\mu\), que es la masa por unidad de longitud de la cuerda.
Físicamente es razonable que solo intervengan estas dos magnitudes.
La tensión es la causa de la transmisión: a mayor tensión, cada trozo de cuerda recupera antes su posición y arrastra con más fuerza al siguiente, luego la perturbación viaja más rápido.
La densidad lineal representa la inercia: a mayor masa por unidad de longitud, más cuesta mover cada trozo de cuerda y más lenta es la transmisión.
Ni la amplitud ni la frecuencia de la onda influyen en la velocidad, siempre que la perturbación sea pequeña y la cuerda se comporte de forma lineal.
Una cuerda de guitarra y una cuerda de bajo tienen tensiones parecidas, pero la cuerda de bajo es mucho más gruesa, es decir, tiene mayor densidad lineal: las ondas viajan más despacio por ella, y por eso suena más grave a igualdad de longitud.
Deducción por análisis dimensional
Se supone que la velocidad depende de la tensión y de la densidad lineal mediante una ley de potencias con una constante adimensional \(C\):
donde los exponentes \(\alpha\) y \(\beta\) se determinan exigiendo que ambos miembros tengan las mismas dimensiones.
Las dimensiones de cada magnitud en función de masa \(M\), longitud \(L\) y tiempo \(T\) son: \([v] = LT^{-1} \), \([T] = MLT^{-2} \) porque la tensión es una fuerza, y \([\mu] = ML^{-1} \) porque es masa por unidad de longitud.
Igualando las dimensiones de ambos miembros:
Sustituimos en la primera ecuación:
La ecuación de ondas de la cuerda fija la constante
El análisis dimensional deja sin determinar la constante adimensional \(C\). Aplicando la segunda ley de Newton a un pequeño trozo de cuerda se obtiene la ecuación de ondas de la cuerda:
Comparando con la ecuación general de ondas, $$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$$, se identifica \(\frac{1}{v^2} = \frac{\mu}{T}\), es decir,
de modo que la constante del análisis dimensional vale \(C = 1\). La justificación física del apartado 1 queda así confirmada matemáticamente: la velocidad crece con la raíz cuadrada de la tensión y disminuye con la raíz cuadrada de la densidad lineal.
Una cuerda sometida a una tensión \(T = 100 \text{ N} \) y con densidad lineal \(\mu = 0,04 \text{ kg/m} \) transmite las ondas con velocidad $$v = \sqrt{\frac{100}{0,04}} = \sqrt{2500} = 50 \text{ m/s} $$
Consecuencias prácticas
Como la velocidad depende de la raíz cuadrada de la tensión, para duplicar la velocidad de propagación hay que cuadruplicar la tensión.
Del mismo modo, si se duplica la densidad lineal manteniendo la tensión, la velocidad se divide por \(\sqrt{2}\). Estas relaciones son las que usan los músicos al afinar los instrumentos de cuerda: al girar la clavija aumenta la tensión y la onda viaja más rápido, lo que eleva la frecuencia del sonido emitido.
La frecuencia de la onda la impone el foco que la genera, y con la velocidad conocida se obtiene la longitud de onda mediante \(v = \lambda f\): al tensar más la cuerda, la misma frecuencia corresponde a una longitud de onda mayor.
Una onda transversal se propaga por una cuerda tensa con velocidad \(v \). Determina cómo cambia la velocidad de propagación si la tensión de la cuerda se cuadruplica manteniendo constante su densidad lineal.
Al cuadruplicar la tensión manteniendo la densidad lineal, la nueva velocidad es $$v' = \sqrt{\frac{4T}{\mu}} = 2\sqrt{\frac{T}{\mu}} = 2v $$: se duplica.
Deduce por análisis dimensional la velocidad de propagación de las ondas en una cuerda y calcula su valor para una tensión \(T = 90 \text{ N} \) y una densidad lineal \(\mu = 0,25 \text{ kg/m} \)
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por plantear la ley de potencias y las dimensiones de cada magnitud.
A continuación igualaremos los exponentes y resolveremos el sistema.
Para terminar calcularemos la velocidad con los datos.
Ley de potencias y dimensiones.
Se propone \(v = C\cdot T^{\alpha}\,\mu^{\beta} \) con \(C\) adimensional.
Las dimensiones son \([v] = LT^{-1}\), \([T] = MLT^{-2}\) y \([\mu] = ML^{-1}\)
Sistema de ecuaciones para los exponentes.
Igualando dimensiones, $$LT^{-1} = (MLT^{-2})^{\alpha}(ML^{-1})^{\beta}$$, e igualando exponente a exponente:
para \(M\), \(0 = \alpha + \beta\);
para \(L\), \(1 = \alpha - \beta\);
para \(T\), \(-1 = -2\alpha\). De
la tercera, \(\alpha = 1/2\);
Sustituimos en la primera ecuación:
Expresión de la velocidad.
Sustituyendo los exponentes: \(v = C\sqrt{T/\mu}\). La ecuación de ondas de la cuerda fija \(C = 1\), luego \(v = \sqrt{T/\mu}\)
Cálculo numérico.
Sustituyendo \(T = 90 \text{ N}\) y \(\mu = 0,25 \text{ kg/m}\):
Conclusión: \(v = \sqrt{T/\mu}\), que para los datos dados vale aproximadamente \(19,0 \text{ m/s}\)
Un vibrador de frecuencia \(f = 8 \text{ Hz} \) y amplitud \(A = 0,05 \text{ m} \) genera ondas en una cuerda de densidad lineal \(\mu = 0,1 \text{ kg/m} \) sometida a una tensión \(T = 57,6 \text{ N} \). Escribe la función de la onda generada, suponiendo fase inicial nula y propagación en el sentido positivo del eje \(x\)
Explicación: Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la velocidad de propagación en la cuerda.
A continuación hallaremos el número de onda y la frecuencia angular a partir de la frecuencia del foco.
Para terminar escribiremos la función de onda completa.
Velocidad de propagación en la cuerda.
La fórmula general es \(v = \sqrt{T/\mu}\). Sustituyendo los datos:
Frecuencia angular y número de onda.
La fórmula general del número de onda es \(k = \frac{\omega}{v} \). Sustituyendo:
Escritura de la función de onda.
La forma general con fase inicial nula y sentido positivo es \(y(x, t) = A\,\text{sen}(kx - \omega t) \). Sustituyendo los valores:
con \(x\) en metros y \(t\) en segundos.
Conclusión: La onda generada es $$y(x, t) = 0,05\,\text{sen}(2\pi x/3 - 16\pi t)$$ en unidades del Sistema Internacional.
Dos cuerdas del mismo material, luego con igual densidad lineal \(\mu\), están sometidas a tensiones \(T_1\) y \(T_2 = 4T_1\). Halla la relación entre las velocidades de propagación en ambas cuerdas.
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la fórmula general de la velocidad en cada cuerda.
A continuación formaremos el cociente de velocidades.
Para terminar simplificaremos con los datos.
Velocidad en cada cuerda.
La fórmula general es \(v = \sqrt{T/\mu}\). Para cada cuerda: \(v_1 = \sqrt{T_1/\mu}\) y \(v_2 = \sqrt{T_2/\mu} = \sqrt{4T_1/\mu}\)
Cociente de velocidades.
Conclusión: La onda viaja al doble de velocidad por la cuerda con tensión cuádruple: \(v_2 = 2v_1\)
¿Qué tensión hay que aplicar a una cuerda de densidad lineal \(\mu = 0,02 \text{ kg/m} \) para que las ondas se propaguen a \(v = 50 \text{ m/s} \)?
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por despejar la tensión en la fórmula de la velocidad.
A continuación sustituiremos los datos.
Para terminar interpretaremos el resultado.
Despeje de la tensión.
La fórmula general es \(v = \sqrt{T/\mu}\). Elevando al cuadrado ambos miembros: \(v^2 = T/\mu\), de donde \(T = \mu v^2\)
Sustitución de los datos.
Sustituyendo \(\mu = 0,02 \text{ kg/m}\) y \(v = 50 \text{ m/s}\):
Conclusión: Hay que someter la cuerda a una tensión de \(50 \text{ N}\)
Una cuerda con \(T = 90 \text{ N} \) y \(\mu = 0,25 \text{ kg/m} \) es excitada por un foco de frecuencia \(f = 12 \text{ Hz} \). Calcula la velocidad de propagación, la longitud de onda y el periodo de la onda generada.
Explicación: Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la velocidad de propagación con los datos de la cuerda.
A continuación hallaremos la longitud de onda y el periodo.
Para terminar comprobaremos la coherencia de los resultados.
Velocidad de propagación.
Longitud de onda y periodo.
La fórmula general es \(v = \lambda f\), de donde \(\lambda = v/f\). Sustituyendo:
Comprobación de coherencia.
Se verifica que $$v = \lambda/T = 1,581/0,0833 = 18,98 \text{ m/s}$$, coherente con el valor hallado salvo redondeo.
Conclusión: \(v = 18,97 \text{ m/s}\), \(\lambda = 1,581 \text{ m}\) y \(T = 0,0833 \text{ s}\)