Desarrollo por Laplace con parámetro
Calcula por el desarrollo de Laplace y resuelve la ecuación en $x$:
$$\begin{vmatrix} x & 1 & 0 & 0 \\ 1 & x & 1 & 0 \\ 0 & 1 & x & 1 \\ 0 & 0 & 1 & x \end{vmatrix} = 0$$
Desarrollando por la primera fila y reduciendo a menores 3x3 y 2x2, el polinomio característico resultante es $P(x) = x^4 - 3x^2 + 1 = 0$. Es una ecuación bicuadrada con soluciones $x = \pm \sqrt{\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}}$.
Cálculo de adjuntos y suma ponderada
Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, calcula sus adjuntos $A_{12}$, $A_{22}$ y $A_{32}$ y comprueba que $a_{12}A_{12} + a_{22}A_{22} + a_{32}A_{32} = |A|$.
$A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 8$, $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -6$, $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = -4$.
Suma ponderada: $2(8) + (-1)(-6) + 1(-4) = 16 + 6 - 4 = 18$.
Por Sarrus directo: $|A| = 18$. Se confirma el teorema de Laplace.