Bloque 2 • Geometría en el Espacio
Ejercicios resueltos: Ángulo entre dos planos que se cortan
Problemas modelo resueltos con desglose algebraico paso a paso para dominar este concepto métrico clave.
Ejercicio 1
Ángulo diedro entre caras de un tetraedro o planos generales
Calcula el ángulo entre los planos \( \pi_1: 2x - y + z - 3 = 0 \) y \( \pi_2: x + y + 2z - 1 = 0 \).
Resolución:
\( \vec{n}_1 = (2, -1, 1) \), \( \vec{n}_2 = (1, 1, 2) \).
\( \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2(1) - 1(1) + 1(2) = 2 - 1 + 2 = 3 \).
\( |\vec{n}_1| = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6} \), \( |\vec{n}_2| = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6} \).
\( \cos \alpha = \frac{|3|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies \alpha = 60^\circ \).