1. Definición y Fórmula del Coseno Diedro
El ángulo diedro agudo \( \alpha \in [0, \pi/2] \) que forman dos planos \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \) es igual al ángulo agudo formado por sus vectores normales \( \vec{n}_1 \) y \( \vec{n}_2 \):
\[ \cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \,|\vec{n}_2|} = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} \]📌 Ejemplo Concreto de Ángulo entre Planos:
Sean $\pi_1: x + y = 0$ con $\vec{n}_1 = (1, 1, 0)$ y $\pi_2: y + z = 0$ con $\vec{n}_2 = (0, 1, 1)$:
$$\cos(\varphi) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{|1(0) + 1(1) + 0(1)|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$
$$\varphi = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$$
El ángulo diedro agudo formado por ambos planos secantes es de $60^\circ$.
2. Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Ángulo diedro entre dos planos
Calcular el ángulo entre \( \pi_1: x + y = 0 \) y \( \pi_2: y + z = 1 \).
\( \vec{n}_1 = (1, 1, 0) \), \( \vec{n}_2 = (0, 1, 1) \).
\[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1(0) + 1(1) + 0(1) = 1 \] \[ |\vec{n}_1| = \sqrt{2}, \quad |\vec{n}_2| = \sqrt{2} \] \[ \cos \alpha = \frac{|1|}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \implies \alpha = 60^\circ \]Ejemplo 2: Planos perpendiculares
Si \( \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 \implies \cos \alpha = 0 \implies \alpha = 90^\circ \).
Ejemplo 3: Planos paralelos o coincidentes
Si \( \vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2 \implies \cos \alpha = 1 \implies \alpha = 0^\circ \).