Ángulo entre una recta y un plano que se cortan

1. Definición y Fórmula del Seno

El ángulo $ \alpha \in [0, \pi/2] $ entre una recta $ r $ con vector director $ \vec{v} $ y un plano $ \pi $ con vector normal $ \vec{n} $ es el complementario del ángulo formado por $ \vec{v} $ y $ \vec{n} $. Por ello, se calcula mediante el seno:

\[ \sin \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \,|\vec{n}|} \]

Si $ \vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \implies \sin \alpha = 0 \implies \alpha = 0^\circ $ (recta paralela o contenida en el plano).

Si $ \vec{v} \parallel \vec{n} \implies \sin \alpha = 1 \implies \alpha = 90^\circ $ (recta perpendicular al plano).

📌 Ejemplo Concreto de Ángulo Recta-Plano:

Sea $r$ con $\vec{v} = (1, 1, 0)$ y $\pi: z = 0$ con normal $\vec{n}=(0, 0, 1)$:

\sin(\beta) = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|1(0) + 1(0) + 0(1)|}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0 \implies \beta = 0^\circ

Un ángulo de $0^\circ$ confirma que la recta es paralela al plano (o está contenida en él).

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Aplicación directa de la fórmula

Halla el ángulo entre $ r: (x,y,z) = \lambda(1, 0, 1) $ y $ \pi: x + y + 2 = 0 $.

$ \vec{v} = (1, 0, 1) $, $ \vec{n} = (1, 1, 0) $.

\[ \vec{v} \cdot \vec{n} = 1(1) + 0(1) + 1(0) = 1 \] \[ |\vec{v}| = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}, \quad |\vec{n}| = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2} \] \[ \sin \alpha = \frac{|1|}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \implies \alpha = \arcsin(1/2) = 30^\circ \]

Ejemplo 2: Recta perpendicular al plano

Para $ \vec{v} = (2, -1, 3) $ y $ \vec{n} = (2, -1, 3) $, $ \sin \alpha = 1 \implies \alpha = 90^\circ $.

Ejemplo 3: Recta contenida

El ángulo de inclinación de la recta sobre el plano es $ 0^\circ $.