Bloque 2 • Geometría en el Espacio
Ejercicios resueltos: Ángulo entre una recta y un plano que se cortan
Problemas modelo resueltos con desglose algebraico paso a paso para dominar este concepto métrico clave.
Ejercicio 1
Ángulo de una recta con un plano con parámetro
Halla el valor de \( m \) para que la recta \( r: \frac{x}{1} = \frac{y}{m} = \frac{z}{1} \) forme un ángulo de \( 30^\circ \) con el plano \( \pi: z = 0 \).
Resolución:
\( \vec{v} = (1, m, 1) \), \( \vec{n} = (0, 0, 1) \).
\( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = \frac{|1(0) + m(0) + 1(1)|}{\sqrt{1 + m^2 + 1} \sqrt{1}} = \frac{1}{\sqrt{m^2 + 2}} \).
\( \sqrt{m^2 + 2} = 2 \implies m^2 + 2 = 4 \implies m^2 = 2 \implies m = \pm \sqrt{2} \).