1. Definición y Fórmula Métrica
El ángulo \( \alpha \in [0, \pi/2] \) que forman dos rectas \( r \) y \( s \) viene determinado por el ángulo agudo que forman sus respectivos vectores directores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \):
\[ \cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \,|\vec{v}|} = \frac{|u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3|}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}} \]El valor absoluto en el numerador asegura que se obtenga siempre el ángulo agudo o recto (\( 0^\circ \le \alpha \le 90^\circ \)). La fórmula es válida tanto si las rectas se cortan como si se cruzan en el espacio.
📌 Ejemplo Concreto de Ángulo entre Rectas:
Dadas $r$ con $\vec{u} = (1, 1, 0)$ y $s$ con $\vec{v} = (0, 1, 1)$:
$$\cos(\alpha) = \frac{|1(0) + 1(1) + 0(1)|}{\sqrt{1+1} \cdot \sqrt{1+1}} = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$
$$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ \quad \left(\frac{\pi}{3} \text{ rad}\right)$$
2. Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Ángulo agudo entre dos rectas
Halla el ángulo entre \( r \) con \( \vec{u} = (1, 1, 0) \) y \( s \) con \( \vec{v} = (1, 0, 1) \).
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 1(1) + 1(0) + 0(1) = 1 \] \[ |\vec{u}| = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}, \quad |\vec{v}| = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2} \] \[ \cos \alpha = \frac{|1|}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \implies \alpha = \arccos(1/2) = 60^\circ \]Ejemplo 2: Rectas ortogonales
Si \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \implies \cos \alpha = 0 \implies \alpha = 90^\circ \).
Ejemplo 3: Rectas paralelas
Si \( \vec{u} \parallel \vec{v} \implies \cos \alpha = 1 \implies \alpha = 0^\circ \).