Haz de planos perpendiculares a una recta

1. Definición y Ecuación del Haz Normal a una Recta

Dada una recta $ r $ con vector director $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $, el haz de planos perpendiculares a dicha recta está formado por todos los planos cuyo vector normal es paralelo a $ \vec{v} $:

\[ \mathcal{H}_\perp: v_1 x + v_2 y + v_3 z + k = 0, \quad k \in \mathbb{R} \]

Geométricamente, este haz es idéntico a un haz de planos paralelos entre sí, cuya dirección normal coincide con la dirección longitudinal de la recta.

📌 Ejemplo Concreto de Haz Perpendicular a una Recta:

Dada la recta $r$ con vector director $\vec{v}_r = (2, -3, 5)$, el haz de planos perpendiculares a ella viene dado por:

\mathcal{H}_\perp: 2x - 3y + 5z + D = 0 \quad (D \in \mathbb{R})

Cada valor del parámetro $D$ define un plano único ortogonal a la dirección de $r$.

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Plano normal que pasa por un punto dado

Halla el plano perpendicular a $ r: \frac{x-1}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z+4}{-1} $ que pasa por $ P(0, 1, 5) $.

Vector normal: $ \vec{n} = \vec{v}_r = (3, 2, -1) $. Haz: $ 3x + 2y - z + k = 0 $.

Sustituyendo $ P $: $ 3(0) + 2(1) - (5) + k = 0 \implies 2 - 5 + k = 0 \implies k = 3 $. Plano: $ 3x + 2y - z + 3 = 0 $.

Ejemplo 2: Planos perpendiculares a un segmento en su punto medio

Corresponde al plano mediador entre dos puntos.

Ejemplo 3: Distancia entre dos planos del haz

La distancia entre dos planos del haz normal se mide directamente a lo largo de la recta directriz.