Haz de planos que contienen a una recta

1. Definición y Ecuación del Haz Secante (Arista)

Dada una recta $ r $ expresada como intersección de dos planos secantes $ \pi_1: A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 $ y $ \pi_2: A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 $, el haz de planos cuya arista es $ r $ viene dado por la combinación lineal:

\[ \alpha(A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1) + \beta(A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2) = 0 \]

O bien en su forma de parámetro único (exceptuando el plano $ \pi_2 $):

\[ (A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1) + \lambda(A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2) = 0, \quad \lambda \in \mathbb{R} \]

📌 Ejemplo Concreto de Haz de Arista:

Dada la recta $r: \begin{cases} x - y + 1 = 0 \\ 2x + z - 3 = 0 \end{cases}$, el haz de planos que la contienen es:

(x - y + 1) + \lambda(2x + z - 3) = 0 \iff (1 + 2\lambda)x - y + \lambda z + (1 - 3\lambda) = 0

Para que pase por el origen $O(0, 0, 0)$: $1 - 3\lambda = 0 \implies \lambda = 1/3$. Multiplicando por 3: $5x - 3y + z = 0$.

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Plano del haz que pasa por un punto exterior

Halla el plano que contiene a $ r: \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ 2y - z + 3 = 0 \end{cases} $ y pasa por $ P(2, 1, 1) $.

Haz: $ (x + y - 1) + \lambda(2y - z + 3) = 0 $.

Sustituyendo $ P $: $ (2 + 1 - 1) + \lambda(2(1) - 1 + 3) = 2 + 4\lambda = 0 \implies \lambda = -1/2 $.

Multiplicando por 2: $ 2(x + y - 1) - (2y - z + 3) = 0 \implies 2x + z - 5 = 0 $.

Ejemplo 2: Plano del haz paralelo a una recta

Se impone que el vector normal del haz $ \vec{n}_\lambda $ sea ortogonal al vector de la recta.

Ejemplo 3: Plano del haz perpendicular a otro plano

Se impone $ \vec{n}_\lambda \cdot \vec{n}_\pi = 0 $.