1. Definición y Ecuación del Haz Paralelo
El haz de planos paralelos a un plano dado \( \pi: Ax + By + Cz + D = 0 \) es el conjunto infinito de todos los planos del espacio que comparten el mismo vector normal \( \vec{n} = (A, B, C) \):
\[ \mathcal{H}_\parallel: Ax + By + Cz + k = 0, \quad k \in \mathbb{R} \]Haciendo variar el parámetro \( k \), se barre la totalidad del espacio tridimensional mediante planos mutuamente paralelos.
Dado $\pi: 3x - y + 2z - 5 = 0$, el haz de planos paralelos es:
El plano del haz que pasa por $P(1, 1, 0)$ cumple: $3(1) - 1 + 2(0) + k = 0 \implies k = -2$, resultando $3x - y + 2z - 2 = 0$.
2. Ejemplos Prácticos
Halla el plano del haz paralelo a \( 2x - 3y + z - 7 = 0 \) que pasa por \( P(1, 4, -2) \).
Ecuación: \( 2x - 3y + z + k = 0 \). Sustituyendo: \( 2(1) - 3(4) + (-2) + k = 2 - 12 - 2 + k = -12 + k = 0 \implies k = 12 \).
Plano: \( 2x - 3y + z + 12 = 0 \).
Planos del haz \( x + 2y - 2z + k = 0 \) a distancia 4 del origen: \( \frac{|k|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{|k|}{3} = 4 \implies k = \pm 12 \).
El haz de planos paralelos a \( XY \) es \( z = k \).