1. Procedimiento en Dos Fases
Para hallar el simétrico \( P' \) de un punto \( P \) respecto de un plano \( \pi \):
1
Se calcula la proyección ortogonal \( M \) de \( P \) sobre el plano \( \pi \) (intersección con la recta normal).
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El punto \( M \) es el punto medio del segmento \( PP' \), por lo que: \[ P' = 2M - P \]
📌 Ejemplo Concreto de Simétrico Respecto a un Plano:
Hallemos el simétrico de $P(2, 5, -4)$ respecto al plano coordenado $XY$ (de ecuación $\pi: z = 0$):
1) La proyección ortogonal sobre $z=0$ es $M(2, 5, 0)$.
2) Aplicamos la relación de simetría: $P' = 2(2, 5, 0) - (2, 5, -4) = (2, \, 5, \, 4)$.
Invertir el signo de la coordenada perpendicular proporciona directamente el simétrico respecto a un plano coordenado.
2. Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Cálculo completo
Simétrico de \( P(1, 2, 3) \) respecto a \( \pi: x + 2y - z + 4 = 0 \).
Proyección hallada previamente en la sección 2.11.2: \( M(0, 0, 4) \).
\[ P' = 2(0, 0, 4) - (1, 2, 3) = (0, 0, 8) - (1, 2, 3) = (-1, -2, 5) \]Ejemplo 2: Simétrico respecto a planos coordenados
Respecto al plano \( z = 0 \), el simétrico de \( (x, y, z) \) es \( (x, y, -z) \).
Ejemplo 3: Propiedad del plano mediador
El plano \( \pi \) es exactamente el plano mediador del segmento \( PP' \).