Punto simétrico de un punto respecto de una recta

1. Procedimiento en Dos Fases

Para hallar el simétrico $ P' $ de un punto $ P $ respecto de una recta $ r $:

Se calcula la proyección ortogonal $ M $ de $ P $ sobre la recta $ r $ (intersección con el plano perpendicular).

El punto $ M $ es el punto medio del segmento $ PP' $, por lo que: \[ P' = 2M - P \]

📌 Ejemplo Concreto de Simétrico Respecto a una Recta:

Para $P(1, 2, 3)$ y el eje $OZ$ ($r: x=0, y=0$ con director $\vec{v}=(0, 0, 1)$):

1) La proyección ortogonal de $P$ sobre el eje $OZ$ es $M(0, 0, 3)$.

2) Aplicamos la fórmula del simétrico: $P' = 2M - P = 2(0, 0, 3) - (1, 2, 3) = (-1, \, -2, \, 3)$.

Ejemplo 1: Cálculo completo

Simétrico de $ P(1, 0, 1) $ respecto a $ r: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{0} = \frac{z}{1} $.

Plano perpendicular por $ P $: $ 1(x-1) + 0(y-0) + 1(z-1) = 0 \implies x + z - 2 = 0 $.

Paramétricas de $ r $: $ x = \lambda, y = 1, z = \lambda $.

Corte: $ \lambda + \lambda - 2 = 0 \implies \lambda = 1 \implies M(1, 1, 1) $.

Simétrico: $ P' = 2(1, 1, 1) - (1, 0, 1) = (1, 2, 1) $.

Ejemplo 2: Punto contenido en la recta

Si $ P \in r $, $ M = P \implies P' = P $.

Ejemplo 3: Conservación de distancias

$ d(P, r) = d(P', r) $ y la recta $ PP' $ es perpendicular a $ r $.