1. Definición por Punto Medio
El punto simétrico de \( P(x_1, y_1, z_1) \) respecto de un centro de simetría \( M(x_0, y_0, z_0) \) es el punto \( P'(x', y', z') \) tal que \( M \) es el punto medio del segmento \( PP' \):
\[ M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P \] \[ x' = 2x_0 - x_1, \quad y' = 2y_0 - y_1, \quad z' = 2z_0 - z_1 \]📌 Ejemplo Concreto de Simétrico Respecto a un Punto:
Hallemos el simétrico de $P(4, -3, 1)$ respecto al punto central $M(2, 0, 5)$:
$$P' = 2M - P = 2(2, 0, 5) - (4, -3, 1) = (4, 0, 10) - (4, -3, 1) = (0, \, 3, \, 9)$$
Comprobamos que el punto medio entre $P(4, -3, 1)$ y $P'(0, 3, 9)$ es $\left(\frac{4+0}{2}, \frac{-3+3}{2}, \frac{1+9}{2}\right) = (2, 0, 5) = M$.
2. Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Simétrico numérico directo
Halla el simétrico de \( P(3, -2, 5) \) respecto a \( M(1, 1, 2) \).
\[ P' = 2(1, 1, 2) - (3, -2, 5) = (2, 2, 4) - (3, -2, 5) = (-1, 4, -1) \]Ejemplo 2: Simétrico respecto al origen
Respecto a \( O(0,0,0) \), \( P' = -P \). Para \( P(4, -7, 1) \), su simétrico es \( P'(-4, 7, -1) \).
Ejemplo 3: Verificación de distancias
Se verifica que \( d(P, M) = d(P', M) \) y los tres puntos son colineales.