1. Procedimiento de Proyección Recta-Plano
La proyección ortogonal de una recta \( r \) sobre un plano \( \pi \) es otra recta \( r' \subset \pi \). Se obtiene como la intersección de \( \pi \) con el plano proyectante \( \pi' \):
Proyectemos la recta $r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$ sobre el plano $\pi: z = 0$:
El plano proyectante $\pi'$ contiene a $r$ y tiene dirección $\vec{n}_\pi = (0, 0, 1)$:
La proyección es la intersección: $r': \begin{cases} 2x - y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$.
2. Ejemplos Prácticos
Proyectar \( r: (x,y,z) = (1, 0, 1) + \lambda(1, 1, 0) \) sobre \( \pi: z = 0 \).
La proyección anula la coordenada zeta: \( r': (x,y,z) = (1, 0, 0) + \lambda(1, 1, 0) \).
Si \( r \perp \pi \), la proyección no es una recta sino un único punto: el punto de corte \( r \cap \pi \).
Si \( r \parallel \pi \), la proyección \( r' \) es una recta paralela a \( r \) situada en el plano \( \pi \).