Bloque 2 • Geometría en el Espacio
Ejercicios resueltos: Proyección de una recta sobre un plano
Problemas modelo resueltos con desglose algebraico paso a paso para dominar este concepto métrico clave.
Ejercicio 1
Ecuaciones implícitas de la recta proyectada
Halla la proyección de la recta \( r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1} \) sobre el plano \( \pi: x + y + z - 1 = 0 \).
Resolución:
Plano proyectante \( \pi' \): pasa por \( A(1, 0, -1) \) con vectores \( \vec{v}_r = (2, 1, -1) \) y \( \vec{n}_\pi = (1, 1, 1) \).
\[ \begin{vmatrix} x-1 & y & z+1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (x-1)(2) - y(3) + (z+1)(1) = 2x - 3y + z - 1 = 0 \]La recta proyectada es \( r': \begin{cases} x + y + z - 1 = 0 \\ 2x - 3y + z - 1 = 0 \end{cases} \).