Proyección de un punto sobre un plano

1. Procedimiento Geométrico

La proyección ortogonal de un punto $ P $ sobre un plano $ \pi $ es el punto $ P' \in \pi $ obtenido al trazar una recta perpendicular al plano por $ P $:

Se traza la recta $ r $ perpendicular a $ \pi $ que pasa por $ P $, con vector director $ \vec{v}_r = \vec{n}_\pi $.

Se resuelve la intersección de la recta con el plano: $ P' = r \cap \pi $.

📌 Ejemplo Concreto de Proyección de Punto sobre Plano:

Proyectemos $P(3, -1, 4)$ sobre el plano coordenado $XY$ (de ecuación $\pi: z = 0$ y normal $\vec{n}=(0, 0, 1)$):

1) Recta perpendicular: $(x, y, z) = (3, -1, 4) + \lambda(0, 0, 1) \implies x=3, y=-1, z=4+\lambda$.

2) Corte con $\pi$: $z = 0 \implies 4 + \lambda = 0 \implies \lambda = -4$. Proyección ortogonal: $P'(3, -1, 0)$.

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Cálculo completo

Proyectar $ P(1, 2, 3) $ sobre $ \pi: x + 2y - z + 4 = 0 $.

Recta normal: $ (x,y,z) = (1, 2, 3) + \lambda(1, 2, -1) $.

Sustituimos en $ \pi $: $ (1+\lambda) + 2(2+2\lambda) - (3-\lambda) + 4 = 0 \implies 1+\lambda+4+4\lambda-3+\lambda+4 = 6\lambda + 6 = 0 \implies \lambda = -1 $.

Proyección: $ P' = (1 - 1, 2 - 2, 3 - (-1)) = (0, 0, 4) $.

Ejemplo 2: Proyección sobre planos coordenados

La proyección de $ P(a, b, c) $ sobre $ z = 0 $ es simplemente $ P'(a, b, 0) $.

Ejemplo 3: Distancia a través de la proyección

$ d(P, \pi) = d(P, P') = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6} \text{ u} $.