Proyección de un punto sobre una recta

1. Procedimiento Geométrico

La proyección ortogonal de un punto $ P $ sobre una recta $ r $ es el punto $ P' \in r $ más cercano a $ P $. Se calcula en 3 pasos:

Se construye el plano $ \pi $ perpendicular a $ r $ que pasa por $ P $, cuyo vector normal es $ \vec{n}_\pi = \vec{v}_r $.

Se intersecta la recta con el plano: $ P' = r \cap \pi $.

El punto de corte $ P' $ es la proyección ortogonal buscada.

📌 Ejemplo Concreto de Proyección de Punto sobre Recta:

Proyectemos el punto $P(1, 2, 3)$ sobre el eje $OX$ ($r: y=0, z=0$ con director $\vec{v}=(1, 0, 0)$):

1) Plano perpendicular por $P$: $1(x - 1) + 0(y - 2) + 0(z - 3) = 0 \implies x - 1 = 0$.

2) Corte con la recta: $x = 1$, $y = 0$, $z = 0$. La proyección ortogonal es exactamente $P'(1, 0, 0)$.

Ejemplo 1: Cálculo paso a paso

Proyectar $ P(2, 3, -1) $ sobre $ r: \frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{1} $.

Plano perpendicular: $ \vec{n} = (1, 2, 1) \implies 1(x-2) + 2(y-3) + 1(z+1) = 0 \implies x + 2y + z - 7 = 0 $.

Paramétricas de $ r $: $ x = 1+\lambda, y = -1+2\lambda, z = \lambda $.

Sustituyendo: $ (1+\lambda) + 2(-1+2\lambda) + \lambda - 7 = 0 \implies 6\lambda - 8 = 0 \implies \lambda = 4/3 $.

$ P' = (1 + 4/3, -1 + 8/3, 4/3) = (7/3, 5/3, 4/3) $.

Ejemplo 2: Punto que ya pertenece a la recta

Si $ P \in r $, su proyección es el propio punto: $ P' = P $.

Ejemplo 3: Método del punto genérico

Se toma $ Q(\lambda) \in r $ y se impone $ \vec{PQ} \cdot \vec{v}_r = 0 $, obteniendo directamente $ \lambda $.