Distancia entre dos rectas que se cruzan

1. Fórmula por el Producto Mixto

Dadas dos rectas $ r $ y $ s $ que se cruzan en el espacio, determinadas por $ (A, \vec{u}) $ y $ (B, \vec{v}) $. La distancia mínima entre ellas es la altura del paralelepípedo formado por $ \vec{u} $, $ \vec{v} $ y $ \vec{AB} $:

\[ d(r, s) = \frac{|[\vec{u}, \vec{v}, \vec{AB}]|}{|\vec{u} \times \vec{v}|} = \frac{|\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{AB})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|} \]

📌 Ejemplo Concreto de Distancia entre Rectas Cruzadas:

Sean $r(A, \vec{u})$ y $s(B, \vec{v})$ con $A(1, 0, 0)$, $B(0, 1, 2)$, $\vec{u}=(1, 0, 0)$ y $\vec{v}=(0, 1, 0)$:

\vec{AB} = (-1, 1, 2), \quad \vec{u} \times \vec{v} = (0, 0, 1) \implies |\vec{u} \times \vec{v}| = 1

[\vec{u}, \vec{v}, \vec{AB}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2

d(r, s) = \frac{|2|}{1} = 2 \text{ unidades}

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Aplicación directa del producto mixto

Sean $ r: (x,y,z) = (1, 0, 0) + \lambda(1, 1, 0) $ y $ s: (x,y,z) = (0, 0, 1) + \mu(0, 1, 1) $.

$ A(1, 0, 0) $, $ B(0, 0, 1) \implies \vec{AB} = (-1, 0, 1) $. $ \vec{u} = (1, 1, 0) $, $ \vec{v} = (0, 1, 1) $.

\[ \vec{u} \times \vec{v} = (1, -1, 1) \implies |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \] \[ [\vec{u}, \vec{v}, \vec{AB}] = \vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-1)(1) + 0(-1) + 1(1) = 0 \implies \text{¡Se cortan!} \]

Ejemplo 2: Rectas verdaderamente cruzadas

Si cambiamos $ B(0, 1, 1) \implies \vec{AB} = (-1, 1, 1) $:

\[ [\vec{u}, \vec{v}, \vec{AB}] = (-1)(1) + 1(-1) + 1(1) = -1 \] \[ d(r, s) = \frac{|-1|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ u} \]

Ejemplo 3: Método del plano paralelo

Se construye un plano $ \pi $ que contiene a $ r $ y es paralelo a $ s $ (normal $ \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} $), y se calcula $ d(r,s) = d(B, \pi) $.