Bloque 2 • Geometría en el Espacio
Ejercicios resueltos: Distancia entre dos rectas que se cruzan
Problemas modelo resueltos con desglose algebraico paso a paso para dominar este concepto métrico clave.
Ejercicio 1
Cálculo de la distancia entre dos rectas alabeadas
Calcula la distancia entre las rectas \( r: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z-1}{1} \) y \( s: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{3} \).
Resolución:
\( A(1, 0, 1) \), \( \vec{u} = (1, 2, 1) \). \( B(0, 1, 0) \), \( \vec{v} = (2, 1, 3) \). \( \vec{AB} = (-1, 1, -1) \).
\( \vec{u} \times \vec{v} = (5, -1, -3) \). \( |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35} \).
\( [\vec{u}, \vec{v}, \vec{AB}] = (-1)(5) + 1(-1) + (-1)(-3) = -5 - 1 + 3 = -3 \).
\( d(r, s) = \frac{|-3|}{\sqrt{35}} = \frac{3\sqrt{35}}{35} \text{ u} \).