Bloque 2 • Geometría en el Espacio
Ejercicios resueltos: Proyección de un punto sobre una recta
Problemas modelo resueltos con desglose algebraico paso a paso para dominar este concepto métrico clave.
Ejercicio 1
Proyección ortogonal por punto genérico
Calcula la proyección del punto \( P(1, 2, 3) \) sobre la recta \( r: (x,y,z) = \lambda(1, 0, 2) \).
Resolución:
Punto genérico \( Q(\lambda) = (\lambda, 0, 2\lambda) \). Vector \( \vec{PQ} = (\lambda - 1, -2, 2\lambda - 3) \).
Perpendicularidad con \( \vec{v} = (1, 0, 2) \):
\[ \vec{PQ} \cdot \vec{v} = 1(\lambda - 1) + 0 + 2(2\lambda - 3) = \lambda - 1 + 4\lambda - 6 = 5\lambda - 7 = 0 \implies \lambda = \frac{7}{5} \]Proyección: \( P' = (7/5, 0, 14/5) \).