Distancia entre dos rectas paralelas

1. Reducción a Punto y Recta

Dadas dos rectas paralelas $ r $ y $ s $ con el mismo vector director $ \vec{v} $ ($ \vec{u}_r \parallel \vec{u}_s $):

\[ d(r, s) = d(A, s) = \frac{|\vec{AB} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} \]

Donde $ A \in r $ y $ B \in s $. Como la distancia es constante en toda la longitud de las rectas, basta tomar un punto cualquiera de $ r $ y medir su distancia a $ s $.

📌 Ejemplo Concreto de Distancia entre Rectas Paralelas:

Sean $r$ que pasa por $A(1, 0, 2)$ y $s$ que pasa por $B(2, 2, 2)$, ambas con vector director $\vec{v}=(0, 0, 1)$:

\vec{AB} = (1, 2, 0) \implies \vec{AB} \times \vec{v} = (2, -1, 0) \implies |\vec{AB} \times \vec{v}| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}

d(r, s) = \frac{|\vec{AB} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} = \frac{\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5} \approx 2.236 \text{ unidades}

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Cálculo con vectores

Sean $ r: (x,y,z) = (1, 0, 0) + \lambda(0, 1, 1) $ y $ s: (x,y,z) = (2, 1, 0) + \mu(0, 1, 1) $.

$ A(1, 0, 0) \in r $, $ B(2, 1, 0) \in s \implies \vec{AB} = (1, 1, 0) $, $ \vec{v} = (0, 1, 1) $.

\[ \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1, -1, 1) \] \[ d(r, s) = \frac{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \text{ u} \]

Ejemplo 2: Rectas coincidentes

Si $ \vec{AB} \parallel \vec{v} $, el producto vectorial se anula y $ d(r, s) = 0 $.

Ejemplo 3: Método geométrico por plano perpendicular

Se traza un plano perpendicular a $ \vec{v} $, se obtienen sus puntos de corte con ambas rectas $ P_r, P_s $, y $ d(r,s) = d(P_r, P_s) $.