1. Fórmula Directa para Planos Paralelos
Dados dos planos paralelos expresados con los mismos coeficientes directores \( A, B, C \):
\[ \pi_1: Ax + By + Cz + D_1 = 0, \qquad \pi_2: Ax + By + Cz + D_2 = 0 \] \[ d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]📌 Ejemplo Concreto de Distancia entre Planos Paralelos:
Dados $\pi_1: 2x - y + 2z - 4 = 0$ y $\pi_2: 2x - y + 2z + 8 = 0$, con idénticos coeficientes $A, B, C$:
$$d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \frac{|8 - (-4)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|12|}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4 \text{ unidades}$$
2. Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Coeficientes normalizados
Distancia entre \( \pi_1: 2x - y + 2z - 4 = 0 \) y \( \pi_2: 2x - y + 2z + 5 = 0 \).
\[ d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|5 - (-4)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{9}{3} = 3 \text{ u} \]Ejemplo 2: Homogeneización previa de coeficientes
Sean \( \pi_1: x + 2y - 2z + 1 = 0 \) y \( \pi_2: 2x + 4y - 4z - 8 = 0 \).
Dividimos \( \pi_2 \) entre 2: \( x + 2y - 2z - 4 = 0 \).
\[ d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|-4 - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{5}{3} \text{ u} \]Ejemplo 3: Planos secantes
Si los vectores normales no son paralelos, los planos se cortan en una recta y \( d(\pi_1, \pi_2) = 0 \).