Distancia entre un plano y una recta paralela a dicho plano

1. Reducción a Distancia Punto-Plano

Si una recta $ r $ es paralela a un plano $ \pi $ ($ \vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0 $), todos los puntos de la recta están a la misma distancia de dicho plano. Por tanto:

\[ d(r, \pi) = d(A, \pi) \quad \text{donde } A \in r \text{ es cualquier punto de la recta} \]

Si la recta corta al plano, $ d(r, \pi) = 0 $. Si está contenida en él, también $ d(r, \pi) = 0 $.

📌 Ejemplo Concreto de Distancia Recta-Plano Paralelo:

Sea la recta $r$ con punto $A_r(0, 1, -1)$ y el plano paralelo $\pi: 3x - 4z + 1 = 0$:

d(r, \pi) = d(A_r, \pi) = \frac{|3(0) - 4(-1) + 1|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2}} = \frac{|4 + 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{5}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1 \text{ unidad}

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Verificación de paralelismo y cálculo

Hallar $ d(r, \pi) $ con $ r: (x,y,z) = (1, 0, 1) + \lambda(2, 1, 0) $ y $ \pi: x - 2y + 3z - 10 = 0 $.

$ \vec{v} \cdot \vec{n} = 2(1) + 1(-2) + 0(3) = 0 \implies r \parallel \pi $.

Punto $ A(1, 0, 1) $: $ d(r, \pi) = \frac{|1(1) - 2(0) + 3(1) - 10|}{\sqrt{1+4+9}} = \frac{|-6|}{\sqrt{14}} = \frac{6}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{14}}{7} \text{ u} $.

Ejemplo 2: Recta contenida

Si al evaluar $ A \in r $ en $ \pi $ se anula, la distancia es 0.

Ejemplo 3: Recta secante

Si $ \vec{v} \cdot \vec{n} \neq 0 $, la recta corta al plano y su distancia mínima es 0.