Distancia entre un punto y un plano

1. Fórmula Analítica de Distancia Punto-Plano

Dado un punto $ P(x_0, y_0, z_0) $ y un plano $ \pi: Ax + By + Cz + D = 0 $:

\[ d(P, \pi) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

El numerador representa el valor absoluto de evaluar el punto en el plano, y el denominador es el módulo de su vector normal $ |\vec{n}| $.

📌 Ejemplo Concreto de Distancia Punto-Plano:

Calculemos la distancia del punto $P(1, 2, 3)$ al plano $\pi: 2x - y + 2z - 1 = 0$:

d(P, \pi) = \frac{|2(1) - 1(2) + 2(3) - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 - 2 + 6 - 1|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|5|}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3} \approx 1.667 \text{ unidades}

Ejemplo 1: Aplicación directa

Distancia de $ P(2, -1, 4) $ a $ \pi: 2x - 2y + z - 5 = 0 $.

\[ d(P, \pi) = \frac{|2(2) - 2(-1) + 1(4) - 5|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|4 + 2 + 4 - 5|}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3} \text{ u} \]

Ejemplo 2: Distancia al plano coordenado XY

Para el plano $ z = 0 $, $ d(P, \pi_{XY}) = |z_0| $. Para $ P(3, 4, -8) $, la distancia es $ 8 $ unidades.

Ejemplo 3: Punto perteneciente al plano

Si $ P \in \pi $, $ Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0 \implies d(P, \pi) = 0 $.