1. Fórmula por el Producto Vectorial
Dada una recta \( r \) que pasa por \( A \) con vector director \( \vec{v} \), y un punto exterior \( P \). La distancia \( d(P, r) \) es la altura del paralelogramo determinado por \( \vec{v} \) y \( \vec{AP} \):
\[ d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} \]📌 Ejemplo Concreto de Distancia Punto-Recta:
Calculemos la distancia del punto $P(2, 1, 3)$ a la recta $r$ que pasa por $A(1, 0, 1)$ con $\vec{v} = (0, 0, 1)$:
$$\vec{AP} = (2 - 1, \; 1 - 0, \; 3 - 1) = (1, 1, 2), \quad \vec{v} = (0, 0, 1)$$
$$\vec{AP} \times \vec{v} = (1, \, -1, \, 0) \implies |\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$$
$$d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{0 + 0 + 1}} = \sqrt{2} \approx 1.414 \text{ unidades}$$
2. Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Aplicación directa de la fórmula
Distancia de \( P(1, 0, 2) \) a \( r: (x,y,z) = (0, 1, 1) + \lambda(1, 2, -1) \).
\( A(0, 1, 1) \implies \vec{AP} = (1, -1, 1) \), \( \vec{v} = (1, 2, -1) \).
\[ \vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1, 2, 3) \] \[ d(P, r) = \frac{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2}}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{7}{3}} \approx 1.528 \text{ u} \]Ejemplo 2: Punto contenido en la recta
Si \( P \in r \), \( \vec{AP} \parallel \vec{v} \implies |\vec{AP} \times \vec{v}| = 0 \implies d(P, r) = 0 \).
Ejemplo 3: Método alternativo de la proyección
Se halla el plano perpendicular a \( r \) por \( P \), se calcula el corte \( P' = \pi \cap r \), y \( d(P,r) = d(P, P') \).