1. Definición y Fórmula Métrica
La distancia euclídea entre dos puntos \( A(x_1, y_1, z_1) \) y \( B(x_2, y_2, z_2) \) en el espacio tridimensional es igual al módulo del vector \( \vec{AB} \):
\[ d(A, B) = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]
1
No negatividad y simetría: \( d(A,B) \ge 0 \), \( d(A,B) = 0 \iff A = B \), y \( d(A,B) = d(B,A) \).
2
Desigualdad triangular: Para cualquier tercer punto \( C \), \( d(A,B) \le d(A,C) + d(C,B) \).
📌 Ejemplo Concreto de Distancia entre Dos Puntos:
Calculemos la distancia euclídea entre $A(2, -1, 5)$ y $B(5, 3, 5)$:
$$d(A, B) = \sqrt{(5 - 2)^2 + (3 - (-1))^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ unidades}$$
La distancia es exactamente de 5 unidades de longitud.
2. Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Distancia numérica directa
Calcular la distancia entre \( A(1, 2, -1) \) y \( B(4, -2, 3) \).
\[ \vec{AB} = (4-1, -2-2, 3-(-1)) = (3, -4, 4) \] \[ d(A,B) = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \approx 6.403 \text{ u} \]Ejemplo 2: Distancia al origen
Distancia de \( P(-2, 3, 6) \) al origen \( O(0,0,0) \):
\[ d(O,P) = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \text{ u} \]Ejemplo 3: Punto a distancia dada sobre un eje
Halla un punto \( P(0, y, 0) \) en el eje Y que equidiste \( 5 \) unidades de \( A(3, 1, 0) \).
\[ \sqrt{(0-3)^2 + (y-1)^2 + 0} = 5 \implies 9 + (y-1)^2 = 25 \implies (y-1)^2 = 16 \implies y = 1 \pm 4 \]Soluciones: \( P_1(0, 5, 0) \) y \( P_2(0, -3, 0) \).