Paralelismo, perpendicularidad y posición relativa de dos planos

1. Paralelismo y Ortogonalidad entre dos Planos

Sean los planos $ \pi_1: A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 $ y $ \pi_2: A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 $ con vectores normales $ \vec{n}_1 = (A_1, B_1, C_1) $ y $ \vec{n}_2 = (A_2, B_2, C_2) $:

Planos Paralelos ($ \pi_1 \parallel \pi_2 $): Ocurre si y solo si sus vectores normales son proporcionales: \[ \vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2 \iff \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \] Si la razón coincide con $ D_1 / D_2 $ son coincidentes; si no coincide son paralelos distintos.

Planos Perpendiculares ($ \pi_1 \perp \pi_2 $): Ocurre si y solo si sus vectores normales son perpendiculares (su producto escalar es nulo): \[ \pi_1 \perp \pi_2 \iff \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 \iff A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0 \]

📌 Ejemplo Concreto de Planos Perpendiculares:

Verifiquemos la ortogonalidad de $\pi_1: 3x - 2y + z - 4 = 0$ y $\pi_2: x + 2y + z + 8 = 0$ multiplicando sus normales:

\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 3(1) + (-2)(2) + 1(1) = 3 - 4 + 1 = 0

Al ser nulo su producto escalar, los planos son estrictamente perpendiculares (forman un diedro de $90^\circ$).

2. Ejemplos Prácticos Ilustrativos

Ejemplo 1: Planos perpendiculares

Comprobar que $ \pi_1: 2x - 3y + z - 1 = 0 $ y $ \pi_2: x + y + z + 4 = 0 $ son perpendiculares.

$ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2(1) + (-3)(1) + 1(1) = 2 - 3 + 1 = 0 \implies \pi_1 \perp \pi_2 $.

Ejemplo 2: Plano paralelo a otro que pasa por un punto

Halla el plano paralelo a $ \pi: 4x - 2y + 5z - 8 = 0 $ que pasa por $ P(-1, 3, 2) $.

Mismo vector normal $ \vec{n} = (4, -2, 5) $: $ 4x - 2y + 5z + D = 0 $.

Sustituimos $ P $: $ 4(-1) - 2(3) + 5(2) + D = -4 - 6 + 10 + D = D = 0 $. Plano: $ 4x - 2y + 5z = 0 $.

Ejemplo 3: Determinación de parámetros para perpendicularidad

Halla $ k $ para que $ \pi_1: kx + y - 2z = 3 $ y $ \pi_2: 2x - ky + z = 1 $ sean perpendiculares.

$ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = k(2) + 1(-k) + (-2)(1) = 2k - k - 2 = k - 2 = 0 \implies k = 2 $.