Paralelismo, perpendicularidad y posición relativa de una recta y un plano

1. Geometría Relativa de Recta y Plano

Dada una recta con vector director $ \vec{v} $ y un plano con vector normal $ \vec{n} $:

Recta y Plano Paralelos ($ r \parallel \pi $): Ocurre cuando el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano: \[ r \parallel \pi \iff \vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \] (Si además el punto base de la recta está en el plano, la recta está contenida en el plano).

Recta y Plano Perpendiculares ($ r \perp \pi $): Ocurre cuando el vector director de la recta es paralelo al vector normal del plano: \[ r \perp \pi \iff \vec{v} \parallel \vec{n} \iff \frac{v_1}{A} = \frac{v_2}{B} = \frac{v_3}{C} \] En este caso, la recta siempre corta al plano en un único punto bajo un ángulo exacto de $ 90^\circ $.

📌 Ejemplo Concreto de Dualidad Recta-Plano:

1) Recta perpendicular a plano: $r$ con $\vec{v} = (4, -2, 6)$ y $\pi: 2x - y + 3z - 1 = 0$ con $\vec{n}=(2, -1, 3)$. Como $\frac{4}{2} = \frac{-2}{-1} = \frac{6}{3} = 2$, $\vec{v} = 2\vec{n} \implies r \perp \pi$.

2) Recta paralela a plano: $s$ con $\vec{w} = (1, 5, 1)$ y el mismo plano $\pi$: $\vec{w} \cdot \vec{n} = 1(2) + 5(-1) + 1(3) = 2 - 5 + 3 = 0 \implies s \parallel \pi$.

2. Ejemplos Prácticos Ilustrativos

Ejemplo 1: Recta perpendicular a un plano

Determinar si $ r: \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{-4} = \frac{z}{6} $ es perpendicular a $ \pi: x - 2y + 3z - 5 = 0 $.

Vector director $ \vec{v} = (2, -4, 6) $, vector normal $ \vec{n} = (1, -2, 3) $.

Comprobamos proporcionalidad: $ \frac{2}{1} = \frac{-4}{-2} = \frac{6}{3} = 2 \implies \vec{v} = 2\vec{n} \implies r \perp \pi $.

Ejemplo 2: Recta paralela a un plano

Estudiar $ r: \frac{x}{3} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+2}{-1} $ y $ \pi: 2x - 3y + 3z + 1 = 0 $.

$ \vec{v} \cdot \vec{n} = 3(2) + 1(-3) + (-1)(3) = 6 - 3 - 3 = 0 $.

Punto $ A(0, 1, -2) $: $ 2(0) - 3(1) + 3(-2) + 1 = -3 - 6 + 1 = -8 \neq 0 $. La recta es paralela exterior al plano.

Ejemplo 3: Plano perpendicular a una recta que pasa por un punto

Halla el plano que pasa por $ P(1, 2, -1) $ y es perpendicular a la recta con $ \vec{v} = (3, -1, 4) $.

El vector normal del plano es $ \vec{n} = \vec{v} = (3, -1, 4) $. Ecuación: $ 3x - y + 4z + D = 0 $.

Sustituyendo $ P $: $ 3(1) - (2) + 4(-1) + D = 0 \implies 3 - 2 - 4 + D = 0 \implies D = 3 $. Plano: $ 3x - y + 4z + 3 = 0 $.