Paralelismo, perpendicularidad y posición relativa de dos rectas

1. Relaciones Angulares y de Posición entre dos Rectas

Dadas dos rectas $ r $ y $ s $ con vectores directores $ \vec{u} $ y $ \vec{v} $:

Paralelismo: Ocurre si y solo si sus vectores directores son proporcionales (colineales): \[ \vec{u} = k \vec{v} \iff \frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2} = \frac{u_3}{v_3} \iff \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} \] Si comparten un punto son coincidentes; si no comparten ningún punto son paralelas distintas.

Perpendicularidad: Dos rectas son perpendiculares u ortogonales si sus vectores directores forman un ángulo de $ 90^\circ $, es decir, si su producto escalar es nulo: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = 0 \] Distinción crucial en el espacio: Dos rectas perpendiculares pueden ser secantes (si se cortan formando $ 90^\circ $) o pueden cruzarse ortogonalmente sin cortarse.

📌 Ejemplo Concreto de Perpendicularidad entre Rectas:

Dadas $r$ con $\vec{u} = (3, -2, 1)$ y $s$ con $\vec{v} = (2, 4, 2)$:

\vec{u} \cdot \vec{v} = 3(2) + (-2)(4) + 1(2) = 6 - 8 + 2 = 0

Al anularse el producto escalar, ambas rectas son estrictamente ortogonales ($r \perp s$).

2. Ejemplos Prácticos Ilustrativos

Ejemplo 1: Rectas perpendiculares que se cortan

Comprobar que $ r: (x,y,z) = (0,0,0) + \lambda(1, 0, 0) $ y $ s: (x,y,z) = (0,0,0) + \mu(0, 1, 0) $ son perpendiculares y secantes.

$ \vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0 \implies r \perp s $.

Ambas contienen el punto origen $ (0,0,0) $. Por tanto, se cortan perpendicularmente.

Ejemplo 2: Rectas perpendiculares que se cruzan

Sean $ r: (x,y,z) = (0, 0, 1) + \lambda(1, 0, 0) $ y $ s: (x,y,z) = (0, 1, 0) + \mu(0, 0, 1) $.

$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 1(0) + 0(0) + 0(1) = 0 \implies r \perp s $.

Vector entre puntos: $ \vec{AB} = (0, 1, -1) $. Determinante mixto: $ \det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{AB}) = -1 \neq 0 $. Se cruzan perpendicularmente.

Ejemplo 3: Condición de paralelismo con parámetros

Halla $ a $ y $ b $ para que $ r $ con $ \vec{u} = (2, a, -4) $ sea paralela a $ s $ con $ \vec{v} = (1, 3, b) $.

Proporcionalidad: $ \frac{2}{1} = \frac{a}{3} = \frac{-4}{b} \implies a = 6, \; b = -2 $.