Posición relativa de tres planos

1. Discusión General por el Teorema de Rouché-Fröbenius

Tres planos forman un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas con matrices $ M $ y $ M' $:

\[ \begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 z = -D_1 \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z = -D_2 \\ A_3 x + B_3 y + C_3 z = -D_3 \end{cases} \]

$ \text{rg}(M) = 3, \text{rg}(M') = 3 $ (SCD): Se cortan en un único punto $ P $. Forman el vértice de un triedro.

$ \text{rg}(M) = 2, \text{rg}(M') = 2 $ (SCI): Se cortan en una recta común (haz de planos) si no hay dos coincidentes, o bien son dos coincidentes y uno secante.

$ \text{rg}(M) = 2, \text{rg}(M') = 3 $ (SI): No tienen puntos comunes globales. Pueden cortarse dos a dos formando un prisma triangular (si no hay planos paralelos), o dos paralelos y uno secante a ambos.

$ \text{rg}(M) = 1, \text{rg}(M') = 2 $ (SI): Planos paralelos (tres planos paralelos distintos, o dos coincidentes y uno paralelo).

$ \text{rg}(M) = 1, \text{rg}(M') = 1 $ (SCI): Los tres planos son totalmente coincidentes.

📌 Ejemplo Concreto de Triedro (Corte en un Único Punto):

Estudiemos el sistema formado por $\pi_1: x + y = 2$, $\pi_2: y + z = 3$, $\pi_3: x + z = 1$:

\det(M) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) - 1(-1) = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(M) = \text{rg}(M') = 3

Por el Teorema de Rouché-Fröbenius, es un Sistema Compatible Determinado. Sumando las tres ecuaciones: $2(x+y+z) = 6 \implies x+y+z = 3$. Restando cada ecuación obtenemos el punto único de corte: $P(0, 2, 1)$.

2. Ejemplos Prácticos Ilustrativos

Ejemplo 1: Corte en un único punto

Sean $ x+y+z=3 $, $ x-y+z=1 $, $ 2x+y-z=2 $.

$ \det(M) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1(0) - 1(-3) + 1(3) = 6 \neq 0 \implies \text{rg}(M)=3 $.

Se cortan en un único punto común $ P(1, 1, 1) $.

Ejemplo 2: Prisma triangular (se cortan dos a dos)

Sean $ \pi_1: x+y=1 $, $ \pi_2: y+z=1 $, $ \pi_3: x-z=2 $.

$ \det(M) = 0 \implies \text{rg}(M)=2 $. Sin embargo, sumando las ecuaciones vemos contradicción $ \implies \text{rg}(M')=3 $. Ningún par de planos es paralelo, por lo que forman las caras de un prisma triangular.

Ejemplo 3: Haz de planos (se cortan en una recta)

Sean $ \pi_1: x+y+z=1 $, $ \pi_2: 2x+y-z=2 $, $ \pi_3: 3x+2y=3 $.

La tercera ecuación es la suma de las dos primeras: $ \pi_3 = \pi_1 + \pi_2 $. Por tanto, $ \text{rg}(M)=\text{rg}(M')=2 $. Los tres planos pertenecen al mismo haz y se cortan en una recta.