Posición relativa de dos planos

1. Clasificación de dos Planos en el Espacio

Dados dos planos en sus formas generales:

\[ \pi_1: A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \] \[ \pi_2: A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 \]

Sus vectores normales son $ \vec{n}_1 = (A_1, B_1, C_1) $ y $ \vec{n}_2 = (A_2, B_2, C_2) $. El sistema lineal formado por ambos planos tiene matriz de coeficientes $ M $ y ampliada $ M' $:

Coincidentes: $ \text{rg}(M) = 1 $ y $ \text{rg}(M') = 1 $. Todos sus coeficientes son proporcionales: \[ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2} \]

Paralelos distintos: $ \text{rg}(M) = 1 $ y $ \text{rg}(M') = 2 $. Los vectores normales son paralelos pero los términos independientes no guardan la misma proporción: \[ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2} \]

Secantes en una recta: $ \text{rg}(M) = 2 $ y $ \text{rg}(M') = 2 $. Los vectores normales no son proporcionales. Su intersección es una recta $ r $ cuyo vector director es $ \vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 $.

📌 Ejemplo Concreto de Comparación de Coeficientes:

Comparemos los planos $\pi_1: 2x - 4y + 6z - 10 = 0$ y $\pi_2: -x + 2y - 3z + 7 = 0$:

\frac{2}{-1} = \frac{-4}{2} = \frac{6}{-3} = -2 \neq \frac{-10}{7}

Los vectores normales son proporcionales (razón $-2$), pero los términos independientes no guardan dicha proporción. Por tanto, $\text{rg}(M)=1$ y $\text{rg}(M')=2$: los planos son paralelos distintos.

2. Ejemplos Prácticos Ilustrativos

Ejemplo 1: Planos secantes e identificación de la recta intersección

Estudiar $ \pi_1: x + y + z = 1 $ y $ \pi_2: 2x - y + z = 3 $.

Vectores normales: $ \vec{n}_1 = (1, 1, 1) $ y $ \vec{n}_2 = (2, -1, 1) $. Como $ \frac{1}{2} \neq \frac{1}{-1} $, son secantes.

Vector director de la recta intersección:

\[ \vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (2, 1, -3) \]

Ejemplo 2: Planos paralelos distintos

Analizar $ \pi_1: 2x - 4y + 6z - 5 = 0 $ y $ \pi_2: x - 2y + 3z + 1 = 0 $.

Comparamos coeficientes: $ \frac{2}{1} = \frac{-4}{-2} = \frac{6}{3} = 2 \neq \frac{-5}{1} = -5 $. Son paralelos distintos.

Ejemplo 3: Planos coincidentes

Analizar $ \pi_1: 3x - 6y + 9z - 12 = 0 $ y $ \pi_2: x - 2y + 3z - 4 = 0 $.

$ \frac{3}{1} = \frac{-6}{-2} = \frac{9}{3} = \frac{-12}{-4} = 3 $. Representan exactamente el mismo plano geométrico.