Posición relativa de una recta y un plano

1. Estudio de Posición Relativa entre Recta y Plano

Dada una recta $ r $ con punto $ A $ y vector director $ \vec{v} $, y un plano $ \pi: Ax + By + Cz + D = 0 $ con vector normal $ \vec{n} = (A, B, C) $:

1

Secantes (se cortan en un único punto): Ocurre si $ \vec{v} \cdot \vec{n} \neq 0 $. La recta y el vector normal no son perpendiculares, por lo que la recta atraviesa el plano.

2

Paralela al plano (no se cortan): Ocurre si $ \vec{v} \cdot \vec{n} = 0 $ y el punto $ A \notin \pi $. La dirección de la recta es paralela al plano pero no tiene puntos comunes.

3

Contenida en el plano ($ r \subset \pi $): Ocurre si $ \vec{v} \cdot \vec{n} = 0 $ y además el punto $ A \in \pi $. Todos los puntos de la recta pertenecen al plano.

📌 Ejemplo Concreto por Producto Escalar $\vec{v} \cdot \vec{n}$:

Dada la recta con $\vec{v} = (1, 2, -1)$ y el plano $\pi: 2x - y + 3z - 5 = 0$ con normal $\vec{n}=(2, -1, 3)$:

\vec{v} \cdot \vec{n} = 1(2) + 2(-1) + (-1)(3) = 2 - 2 - 3 = -3 \neq 0

Como el producto escalar es distinto de cero, la recta y el plano son secantes y se cortan en un único punto.

2. Enfoque por Sistemas de Ecuaciones Lineales

Si la recta viene dada como intersección de dos planos $ r: \begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 \end{cases} $ y el plano es $ \pi: A_3 x + B_3 y + C_3 z + D_3 = 0 $:

$ \text{rg}(M) = 3, \text{rg}(M') = 3 \implies $ Sistema Compatible Determinado (Secantes en un punto).
$ \text{rg}(M) = 2, \text{rg}(M') = 3 \implies $ Sistema Incompatible (Paralelos sin intersección).
$ \text{rg}(M) = 2, \text{rg}(M') = 2 \implies $ Sistema Compatible Indeterminado (Recta contenida en el plano).

📌 Ejemplo Concreto por Rangos de Matrices:

Para la recta implícita $r: \begin{cases} x - y = 1 \\ y + z = 2 \end{cases}$ y el plano $\pi: x + z = 3$:

Sumando ambas ecuaciones de la recta: $(x - y) + (y + z) = 1 + 2 \implies x + z = 3$. La ecuación de $\pi$ es combinación lineal de las de $r$, por lo que $\text{rg}(M) = \text{rg}(M') = 2$. La recta está totalmente contenida en el plano.

3. Ejemplos Prácticos Ilustrativos

Ejemplo 1: Recta y plano secantes y cálculo del punto de corte

Estudiar $ r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{1} $ y $ \pi: x + 2y + z - 3 = 0 $.

Ecuaciones paramétricas: $ x = 1+2\lambda, y = -1-\lambda, z = \lambda $.

Sustituimos en $ \pi $: $ (1+2\lambda) + 2(-1-\lambda) + \lambda - 3 = 0 \implies 1+2\lambda-2-2\lambda+\lambda-3 = 0 \implies \lambda = 4 $.

Como existe un valor único de $ \lambda $, son secantes. El punto de corte es $ P(1+8, -1-4, 4) = P(9, -5, 4) $.

Ejemplo 2: Recta paralela al plano

Sea $ \vec{v} = (1, -2, 1) $, $ A(0, 0, 1) $ y $ \pi: 2x + y - 5 = 0 $.

$ \vec{v} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (-2)(1) + (1)(0) = 2 - 2 + 0 = 0 $.

Comprobamos $ A(0,0,1) $ en $ \pi $: $ 2(0) + 0 - 5 = -5 \neq 0 \implies A \notin \pi $. La recta es paralela al plano.

Ejemplo 3: Recta contenida en el plano

Sea $ r: (x,y,z) = (1, 1, 0) + \lambda(2, -1, 1) $ y $ \pi: x + y - z - 2 = 0 $.

$ \vec{v} \cdot \vec{n} = 2(1) + (-1)(1) + 1(-1) = 2 - 1 - 1 = 0 $.

Punto $ A(1, 1, 0) $: $ 1 + 1 - 0 - 2 = 0 \implies A \in \pi $. La recta está totalmente contenida en $ \pi $.