Posición relativa de dos rectas

1. Clasificación de dos Rectas en el Espacio Tridimensional

Dadas dos rectas $ r $ y $ s $ determinadas por sus puntos base y vectores directores $ (A, \vec{u}) $ y $ (B, \vec{v}) $ respectivamente, consideramos las matrices:

\[ M = \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix}, \qquad M' = \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ \vec{AB}_1 & \vec{AB}_2 & \vec{AB}_3 \end{pmatrix} \]

Coincidentes: $ \text{rg}(M) = 1 $ y $ \text{rg}(M') = 1 $. Los vectores son proporcionales y $ A \in s $. Son la misma recta.

Paralelas distintas: $ \text{rg}(M) = 1 $ y $ \text{rg}(M') = 2 $. Misma dirección ($ \vec{u} \parallel \vec{v} $), pero no comparten ningún punto ($ A \notin s $).

Secantes (se cortan en un punto): $ \text{rg}(M) = 2 $ y $ \text{rg}(M') = 2 $. Direcciones distintas y coplanarias ($ \det(M') = 0 $).

Se cruzan en el espacio: $ \text{rg}(M) = 2 $ y $ \text{rg}(M') = 3 $. Direcciones distintas y no están en el mismo plano ($ \det(M') \neq 0 $).

📌 Ejemplo Concreto de Rango para Dos Rectas:

Sean $r$ determinada por $A(1, 2, 0)$, $\vec{u}=(2, -1, 1)$ y $s$ por $B(0, 1, -1)$, $\vec{v}=(1, 1, 2)$:

1) Calculamos $\vec{AB} = B - A = (-1, -1, -1)$.

2) Determinante de la matriz ampliada $M'$:

\det(M') = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1 + 2) - (-1)(-1 + 2) + 1(-1 + 1) = 2(1) + 1(1) + 0 = 3 \neq 0

Como $\text{rg}(M) = 2$ (no proporcionales) y $\text{rg}(M') = 3$ (no coplanarias), las rectas se cruzan en el espacio.

2. Ejemplos Prácticos Ilustrativos

Ejemplo 1: Rectas que se cortan

Estudiar $ r: (x,y,z) = (1, 0, 2) + \lambda(1, 1, 0) $ y $ s: (x,y,z) = (0, -1, 2) + \mu(2, 1, 0) $.

$ \vec{u} = (1, 1, 0) $, $ \vec{v} = (2, 1, 0) $ no son proporcionales $ \implies \text{rg}(M) = 2 $.

Vector $ \vec{AB} = (0-1, -1-0, 2-2) = (-1, -1, 0) $. Observamos que $ \vec{AB} = -\vec{u} $, por lo que $ \text{rg}(M') = 2 $. Las rectas se cortan en un punto.

Ejemplo 2: Rectas que se cruzan

Analizar $ r $ con $ A(1, 0, 0), \vec{u} = (1, 0, 0) $ y $ s $ con $ B(0, 1, 1), \vec{v} = (0, 1, 0) $.

$ \vec{AB} = (-1, 1, 1) $. Determinante de $ M' $:

\[ \det(M') = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(M') = 3 \]

Como $ \text{rg}(M)=2 $ y $ \text{rg}(M')=3 $, las rectas se cruzan.

Ejemplo 3: Rectas paralelas

Estudiar $ r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{4} = \frac{z+1}{-2} $ y $ s: \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{-1} $.

Vectores: $ \vec{u} = (2, 4, -2) = 2(1, 2, -1) = 2\vec{v} \implies \text{rg}(M) = 1 $.

Punto $ A(1, 0, -1) $. Comprobamos si $ A \in s $: $ \frac{1}{1} \neq \frac{0-2}{2} = -1 \implies A \notin s $. Son paralelas distintas.