Posición relativa de un punto y una recta y de un punto y un plano

1. Posición Relativa de Punto y Recta en el Espacio

Dado un punto $ P(x_0, y_0, z_0) $ y una recta $ r $ definida por un punto base $ A(a_1, a_2, a_3) $ y un vector director $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $, solo existen dos posiciones relativas posibles:

1

El punto pertenece a la recta ($ P \in r $): Ocurre si y solo si las coordenadas de $ P $ satisfacen las ecuaciones de la recta, o equivalentemente si el vector $ \vec{AP} $ es proporcional y linealmente dependiente con $ \vec{v} $: \[ \text{rango}\begin{pmatrix} \vec{v} \\ \vec{AP} \end{pmatrix} = 1 \iff \vec{AP} \times \vec{v} = \vec{0} \]

2

El punto es exterior a la recta ($ P \notin r $): Ocurre si $ P $ no satisface las ecuaciones, lo que significa que el vector $ \vec{AP} $ no es paralelo a $ \vec{v} $: \[ \text{rango}\begin{pmatrix} \vec{v} \\ \vec{AP} \end{pmatrix} = 2 \iff \vec{AP} \times \vec{v} \neq \vec{0} \]

📌 Ejemplo Concreto de Punto y Recta:

Estudiemos si $P(1, 4, 3)$ pertenece a la recta $r: \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{4} = \frac{z - 1}{2}$:

\frac{1 + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1, \quad \frac{4}{4} = 1, \quad \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1

Al verificarse la igualdad de las tres razones ($1 = 1 = 1$), el punto pertenece a la recta: $P \in r$.

2. Posición Relativa de Punto y Plano

Dado un punto $ P(x_0, y_0, z_0) $ y un plano $ \pi: Ax + By + Cz + D = 0 $:

1

El punto pertenece al plano ($ P \in \pi $): Al sustituir las coordenadas de $ P $ en la ecuación general se verifica la identidad numérica: \[ A x_0 + B y_0 + C z_0 + D = 0 \]

2

El punto es exterior al plano ($ P \notin \pi $): La ecuación no se anula: \[ A x_0 + B y_0 + C z_0 + D \neq 0 \]

📌 Ejemplo Concreto de Punto y Plano:

Comprobemos si $Q(2, -1, 3)$ pertenece al plano $\pi: 3x + 2y - z - 1 = 0$ sustituyendo sus coordenadas:

$$3(2) + 2(-1) - (3) - 1 = 6 - 2 - 3 - 1 = 0$$

Al anularse el polinomio del plano ($0 = 0$), el punto pertenece al plano: $Q \in \pi$. Si tomáramos en cambio $R(0, 0, 0)$, obtendríamos $-1 \neq 0 \implies R \notin \pi$.

3. Ejemplos Prácticos Ilustrativos

Ejemplo 1: Pertenencia de punto a recta continua

Estudiar si $ P(3, -1, 5) $ pertenece a la recta $ r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{4} $.

Sustituimos las coordenadas de $ P $ en cada fracción:

\[ \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1, \quad \frac{-1+2}{1} = \frac{1}{1} = 1, \quad \frac{5-1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

Las tres razones son iguales a $ 1 $. Por lo tanto, $ P \in r $.

Ejemplo 2: Punto exterior a recta mediante rango vectorial

Determinar la posición de $ Q(1, 0, 2) $ respecto a $ r: (x,y,z) = (0, 1, -1) + \lambda(1, 2, 1) $.

Punto base $ A(0, 1, -1) $, vector $ \vec{AQ} = (1-0, 0-1, 2-(-1)) = (1, -1, 3) $. Vector director $ \vec{v} = (1, 2, 1) $.

\[ \frac{1}{1} \neq \frac{-1}{2} \implies \vec{AQ} \not\parallel \vec{v} \implies Q \notin r \]

Ejemplo 3: Pertenencia de punto a un plano

Analizar si $ P(2, -1, 3) $ pertenece al plano $ \pi: 3x + 2y - z - 1 = 0 $.

Evaluamos: $ 3(2) + 2(-1) - (3) - 1 = 6 - 2 - 3 - 1 = 0 $. Como el resultado es cero, $ P \in \pi $.