📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.7.8 Recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan

Determinación de la recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan en el espacio mediante intersección de dos planos proyectantes o puntos genéricos.

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1. Perpendicular Común a Dos Rectas que se Cruzan

Dadas dos rectas que se cruzan $r(A_r, \vec{d}_r)$ y $s(A_s, \vec{d}_s)$, la recta perpendicular común $t$ tiene dirección:

\vec{d}_t = \vec{d}_r \times \vec{d}_s

📌 Ejemplo Concreto de Vector Director de la Perpendicular Común:

Dadas $r$ con $\vec{d}_r = (1, 2, 0)$ y $s$ con $\vec{d}_s = (0, 1, 1)$:

\vec{d}_t = \vec{d}_r \times \vec{d}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2, \, -1, \, 1)

El vector $(2, -1, 1)$ marca la única dirección simultáneamente ortogonal a ambas rectas.

2. Método de Intersección de Planos Proyectantes

Se construyen los dos planos que contienen a cada recta con la dirección perpendicular común:

$\pi_1$: Plano que contiene a $r$ y tiene dirección $\vec{d}_t$: $\begin{vmatrix} X - A_r & \vec{d}_r & \vec{d}_t \end{vmatrix} = 0$
$\pi_2$: Plano que contiene a $s$ y tiene dirección $\vec{d}_t$: $\begin{vmatrix} X - A_s & \vec{d}_s & \vec{d}_t \end{vmatrix} = 0$

Ecuaciones Implícitas de $t$

t: \begin{cases} \pi_1 = 0 \\ \pi_2 = 0 \end{cases}

📌 Ejemplo Concreto de Construcción por Planos Proyectantes:

Si $A_r(0, 0, 0)$ y $A_s(1, 0, 2)$ con la dirección $\vec{d}_t = (2, -1, 1)$ anterior:

\pi_1: \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 2x - y - 5z = 0

\pi_2: \begin{vmatrix} x - 1 & y & z - 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 2(x - 1) + 2y - 2(z - 2) = 0 \implies x + y - z + 1 = 0

La recta perpendicular común es la intersección: $t: \begin{cases} 2x - y - 5z = 0 \\ x + y - z + 1 = 0 \end{cases}$.

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Rectas Canónicas Cruzadas

Enunciado: Halla la perpendicular común al eje $OX$ y a la recta $s: \begin{cases} x = 0 \\ z = 1 \end{cases}$.

Paso 1: Vector director

$\vec{d}_r=(1, 0, 0), \; \vec{d}_s=(0, 1, 0) \implies \vec{d}_t = (0, 0, 1)$

Paso 2: Planos proyectantes

$\pi_1: y = 0, \quad \pi_2: x = 0 \implies t: \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$ (el eje $OZ$).

Ejemplo 2: Método de Puntos Genéricos

Enunciado: Halla los puntos de apoyo $P \in r$ y $Q \in s$ de la perpendicular común.

Paso 1: Condiciones de ortogonalidad

$$\begin{cases} \vec{PQ} \cdot \vec{d}_r = 0 \\ \vec{PQ} \cdot \vec{d}_s = 0 \end{cases}$$

Ejemplo 3: Distancia Mínima

Enunciado: La distancia mínima coincide con la distancia entre los puntos de apoyo: $d(r, s) = d(P, Q)$.

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