📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.7.7 Recta perpendicular común a dos rectas que se cortan

Construcción de la recta ortogonal a dos rectas secantes trazada por su punto de corte común.

1. Perpendicular Común a Dos Rectas Secantes

Cuando dos rectas $r$ y $s$ se cortan en un punto $P = r \cap s$, la recta perpendicular común $t$ queda definida por:

Ecuación de la Recta

t: (x, y, z) = P + \lambda(\vec{d}_r \times \vec{d}_s)

📌 Ejemplo Concreto de Perpendicular Común (Secantes):

Sean las rectas secantes en $P(2, 1, 0)$ con $\vec{d}_r = (1, 0, 0)$ y $\vec{d}_s = (0, 1, 0)$:

1) Vector director de la perpendicular: $\vec{d}_t = \vec{d}_r \times \vec{d}_s = (0, 0, 1)$.

2) Como concurre en el punto común $P(2, 1, 0)$:

t: \begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \\ z = \lambda \end{cases} \iff \begin{cases} x - 2 = 0 \\ y - 1 = 0 \end{cases}

Ejemplo 1: Corte en el Origen

Enunciado: Halla la perpendicular común a los ejes $OX$ y $OY$.

Paso 1: Producto vectorial

$$\vec{d}_t = (1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1) \implies t \text{ es el eje } OZ$$

Ejemplo 2: Punto de Corte no Nulo

Enunciado: Rectas secantes en $P(1, 1, 2)$ con $\vec{d}_r=(1, 2, 0)$ y $\vec{d}_s=(0, 1, 3)$.

Paso 1: Producto y continua

$$\vec{d}_t = (6, -3, 1) \implies \frac{x - 1}{6} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z - 2}{1}$$

Ejemplo 3: Verificación de Ortogonalidad

Enunciado: Comprueba que $\vec{d}_t \cdot \vec{d}_r = 0$ y $\vec{d}_t \cdot \vec{d}_s = 0$.

Paso 1: Productos escalares

$$6(1) - 3(2) + 1(0) = 0, \quad 6(0) - 3(1) + 1(3) = 0$$