📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.7.6 Recta que pasa por un punto y es perpendicular a un plano

Determinación de la recta ortogonal a un plano a partir del vector normal del plano como vector director de la recta.

▶ Ver Explicación Interactiva en Pizarra Digital

1. Principio de Dualidad: $\vec{d}_r = \vec{n}_\pi$

Para construir la recta $r$ que pasa por $P(x_0, y_0, z_0)$ y es perpendicular al plano $\pi: Ax + By + Cz + D = 0$:

Ecuaciones de la Recta Normal

\vec{d}_r = \vec{n}_\pi = (A, B, C) \implies \begin{cases} x = x_0 + \lambda A \\ y = y_0 + \lambda B \\ z = z_0 + \lambda C \end{cases} \iff \frac{x - x_0}{A} = \frac{y - y_0}{B} = \frac{z - z_0}{C}

📌 Ejemplo Concreto de Recta Ortogonal a un Plano:

Hallemos la recta perpendicular al plano $\pi: 2x - 5y + 3z - 7 = 0$ que pasa por el punto $P(4, 0, -1)$:

El vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (2, -5, 3)$ actúa como vector director de la recta $\vec{d}_r$:

\text{Paramétricas: } \begin{cases} x = 4 + 2\lambda \\ y = -5\lambda \\ z = -1 + 3\lambda \end{cases}, \quad \text{Continua: } \frac{x - 4}{2} = \frac{y}{-5} = \frac{z + 1}{3}

2. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Obtención Directa

Enunciado: Halla la recta perpendicular a $\pi: 2x - 3y + 4z - 5 = 0$ por $P(1, 2, -1)$.

Paso 1: Ecuación continua

$$\vec{d}_r = (2, -3, 4) \implies \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-3} = \frac{z + 1}{4}$$

Ejemplo 2: Punto de Corte con el Plano

Enunciado: Halla la proyección de $O(0, 0, 0)$ sobre $\pi: x + y + z = 3$.

Paso 1: Recta y sustitución

$$r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \implies \lambda + \lambda + \lambda = 3 \implies \lambda = 1 \implies M(1, 1, 1)$$

Ejemplo 3: Punto Simétrico

Enunciado: Halla el simétrico de $O$ respecto a $\pi: x + y + z = 3$.

Paso 1: Punto medio

$$M = \frac{O + O'}{2} \implies O' = 2M - O = 2(1, 1, 1) - (0, 0, 0) = (2, 2, 2)$$

← Anterior 2.7.5 Plano que contiene una recta y es perpendicular a otro plano Siguiente → 2.7.7 Recta perpendicular común a dos rectas que se cortan