2.7.5 Plano que contiene una recta y es perpendicular a otro plano
Determinación del plano proyectante de una recta sobre otro plano a partir del vector director de la recta y el vector normal del plano de referencia.
1. Plano Proyectante de una Recta sobre un Plano
Para hallar el plano $\pi$ que contiene a la recta $r(A_r, \vec{d}_r)$ y es perpendicular a $\pi'(A', B', C', D')$:
- Punto base: $A_r \in r$.
- Primer vector director: $\vec{d}_r$.
- Segundo vector director: $\vec{n}_{\pi'} = (A', B', C')$.
Hallemos el plano que contiene a $r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{-1}$ y es perpendicular a $\alpha: x - 2y + z = 4$:
1) Punto base y primer director de la recta: $A_r(1, 0, -1)$, $\vec{d}_r = (2, 3, -1)$.
2) Segundo vector director (normal de $\alpha$): $\vec{n}_\alpha = (1, -2, 1)$.
2. Ejemplos Prácticos Resueltos
Enunciado: Halla el plano que contiene a $r: \frac{x - 1}{2}=\frac{y - 2}{1}=\frac{z}{-1}$ y es perpendicular a $\pi': 2x - y + 3z - 4 = 0$.
$$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 2 & z \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 2(x - 1) - 8(y - 2) - 4z = 0 \implies x - 4y - 2z + 7 = 0$$
Enunciado: Halla el plano proyectante de $r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 3 - \lambda \end{cases}$ sobre el plano $z=0$.
$\vec{n}=(0, 0, 1) \implies \begin{vmatrix} x - 1 & y + 1 & z - 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(x - 1) - 2(y + 1) = 0 \implies x - 2y - 3 = 0$
Enunciado: La proyección de $r$ sobre $\pi'$ es la recta intersección de $\pi$ con $\pi'$.