📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.7.4 Plano que contiene un punto y es perpendicular a una recta

Determinación del plano perpendicular a una recta que pasa por un punto P utilizando el vector director de la recta como vector normal al plano.

1. Principio de Dualidad Ortogonal: $\vec{n}_\pi = \vec{d}_r$

Por definición de perpendicularidad entre recta y plano, la dirección de la recta coincide con la dirección normal del plano:

Ecuación Normal

\vec{n}_\pi = \vec{d}_r = (A, B, C) \implies A(x - x_P) + B(y - y_P) + C(z - z_P) = 0

📌 Ejemplo Concreto de Dualidad $\vec{n}_\pi = \vec{d}_r$:

Hallemos el plano perpendicular a la recta $r: \frac{x - 3}{4} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{2}$ que pasa por $P(1, 2, -3)$:

El vector director de la recta pasa a ser el vector normal del plano: $\vec{n}_\pi = (4, -1, 2)$.

4(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - (-3)) = 0 \implies 4x - 4 - y + 2 + 2z + 6 = 0

$$4x - y + 2z + 4 = 0$$

Ejemplo 1: Obtención Directa

Enunciado: Halla el plano perpendicular a $r: \frac{x - 1}{3}=\frac{y + 2}{-2}=\frac{z}{5}$ que pasa por $P(2, -1, 4)$.

Paso 1: Aplicación

$$\vec{n} = \vec{d}_r = (3, -2, 5) \implies 3(x - 2) - 2(y + 1) + 5(z - 4) = 0 \implies 3x - 2y + 5z - 28 = 0$$

Ejemplo 2: Recta Implícita

Enunciado: Plano por $P(1, 0, 1)$ perpendicular a $r: \begin{cases} x + y = 2 \\ y - z = 0 \end{cases}$.

Paso 1: Vector director y plano

$$\vec{d}_r = (1, 1, 0) \times (0, 1, -1) = (-1, 1, 1)$$

$$-(x - 1) + y + (z - 1) = 0 \implies x - y - z = 0$$

Ejemplo 3: Aplicación a Proyecciones

Enunciado: Este plano permite calcular la proyección de $P$ sobre $r$ como el corte $\pi \cap r$.